Синус, косинус, тангенс: что такое? Как найти синус, косинус и тангенс? Синус, косинус, тангенс и котангенс в тригонометрии: определения, примеры Формула нахождения синуса угла.
Тригонометрия, как наука, зародилась на Древнем Востоке. Первые тригонометрические соотношения были выведены астрономами для создания точного календаря и ориентированию по звездам. Данные вычисления относились к сферической тригонометрии, в то время как в школьном курсе изучают соотношения сторон и угла плоского треугольника.
Тригонометрия – это раздел математики, занимающийся свойствами тригонометрических функций и зависимостью между сторонами и углами треугольников.
В период расцвета культуры и науки I тысячелетия нашей эры знания распространились с Древнего Востока в Грецию. Но основные открытия тригонометрии – это заслуга мужей арабского халифата. В частности, туркменский ученый аль-Маразви ввел такие функции, как тангенс и котангенс, составил первые таблицы значений для синусов, тангенсов и котангенсов. Понятие синуса и косинуса введены индийскими учеными. Тригонометрии посвящено немало внимания в трудах таких великих деятелей древности, как Евклида, Архимеда и Эратосфена.
Основные величины тригонометрии
Основные тригонометрические функции числового аргумента – это синус, косинус, тангенс и котангенс. Каждая из них имеет свой график: синусоида, косинусоида, тангенсоида и котангенсоида.
В основе формул для расчета значений указанных величин лежит теорема Пифагора. Школьникам она больше известна в формулировке: «Пифагоровы штаны, во все стороны равны», так как доказательство приводится на примере равнобедренного прямоугольного треугольника.
Синус, косинус и другие зависимости устанавливают связь между острыми углами и сторонами любого прямоугольного треугольника. Приведем формулы для расчета этих величин для угла A и проследим взаимосвязи тригонометрических функций:
Как видно, tg и ctg являются обратными функциями. Если представить катет a как произведение sin A и гипотенузы с, а катет b в виде cos A * c, то получим следующие формулы для тангенса и котангенса:
Тригонометрический круг
Графически соотношение упомянутых величин можно представить следующим образом:
Окружность, в данном случае, представляет собой все возможные значения угла α — от 0° до 360°. Как видно из рисунка, каждая функция принимает отрицательное или положительное значение в зависимости от величины угла. Например, sin α будет со знаком «+», если α принадлежит I и II четверти окружности, то есть, находится в промежутке от 0° до 180°. При α от 180° до 360° (III и IV четверти) sin α может быть только отрицательным значением.
Попробуем построить тригонометрические таблицы для конкретных углов и узнать значение величин.
Значения α равные 30°, 45°, 60°, 90°, 180° и так далее – называют частными случаями. Значения тригонометрических функций для них просчитаны и представлены в виде специальных таблиц.
Данные углы выбраны отнюдь не случайно. Обозначение π в таблицах стоит для радиан. Рад — это угол, при котором длина дуги окружности соответствует ее радиусу. Данная величина была введена для того, чтобы установить универсальную зависимость, при расчетах в радианах не имеет значение действительная длина радиуса в см.
Углы в таблицах для тригонометрических функций соответствуют значениям радиан:
Итак, не трудно догадаться, что 2π – это полная окружность или 360°.
Свойства тригонометрических функций: синус и косинус
Для того, чтобы рассмотреть и сравнить основные свойства синуса и косинуса, тангенса и котангенса, необходимо начертить их функции. Сделать это можно в виде кривой, расположенной в двумерной системе координат.
Рассмотри сравнительную таблицу свойств для синусоиды и косинусоиды:
| Синусоида | Косинусоида |
|---|---|
| y = sin x | y = cos x |
| ОДЗ [-1; 1] | ОДЗ [-1; 1] |
| sin x = 0, при x = πk, где k ϵ Z | cos x = 0, при x = π/2 + πk, где k ϵ Z |
| sin x = 1, при x = π/2 + 2πk, где k ϵ Z | cos x = 1, при x = 2πk, где k ϵ Z |
| sin x = - 1, при x = 3π/2 + 2πk, где k ϵ Z | cos x = - 1, при x = π + 2πk, где k ϵ Z |
| sin (-x) = - sin x, т. е. функция нечетная | cos (-x) = cos x, т. е. функция четная |
| функция периодическая, наименьший период - 2π | |
| sin x › 0, при x принадлежащем I и II четвертям или от 0° до 180° (2πk, π + 2πk) | cos x › 0, при x принадлежащем I и IV четвертям или от 270° до 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk) |
| sin x ‹ 0, при x принадлежащем III и IV четвертям или от 180° до 360° (π + 2πk, 2π + 2πk) | cos x ‹ 0, при x принадлежащем II и III четвертям или от 90° до 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk) |
| возрастает на промежутке [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk] | возрастает на промежутке [-π + 2πk, 2πk] |
| убывает на промежутках [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk] | убывает на промежутках |
| производная (sin x)’ = cos x | производная (cos x)’ = - sin x |
Определить является ли функция четной или нет очень просто. Достаточно представить тригонометрический круг со знаками тригонометрических величин и мысленно «сложить» график относительно оси OX. Если знаки совпадают, функция четная, в противном случае — нечетная.
Введение радиан и перечисление основных свойств синусоиды и косинусоиды позволяют привести следующую закономерность:
Убедиться в верности формулы очень просто. Например, для x = π/2 синус равен 1, как и косинус x = 0. Проверку можно осуществить обративших к таблицам или проследив кривые функций для заданных значений.
Свойства тангенсоиды и котангенсоиды
Графики функций тангенса и котангенса значительно отличаются от синусоиды и косинусоиды. Величины tg и ctg являются обратными друг другу.
- Y = tg x.
- Тангенсоида стремится к значениям y при x = π/2 + πk, но никогда не достигает их.
- Наименьший положительный период тангенсоиды равен π.
- Tg (- x) = — tg x, т. е. функция нечетная.
- Tg x = 0, при x = πk.
- Функция является возрастающей.
- Tg x › 0, при x ϵ (πk, π/2 + πk).
- Tg x ‹ 0, при x ϵ (— π/2 + πk, πk).
- Производная (tg x)’ = 1/cos 2 x .
Рассмотрим графическое изображение котангенсоиды ниже по тексту.
Основные свойства котангенсоиды:
- Y = ctg x.
- В отличие от функций синуса и косинуса, в тангенсоиде Y может принимать значения множества всех действительных чисел.
- Котангенсоида стремится к значениям y при x = πk, но никогда не достигает их.
- Наименьший положительный период котангенсоиды равен π.
- Ctg (- x) = — ctg x, т. е. функция нечетная.
- Ctg x = 0, при x = π/2 + πk.
- Функция является убывающей.
- Ctg x › 0, при x ϵ (πk, π/2 + πk).
- Ctg x ‹ 0, при x ϵ (π/2 + πk, πk).
- Производная (ctg x)’ = — 1/sin 2 x Исправить
В этой статье мы покажем, как даются определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла и числа в тригонометрии . Здесь же мы поговорим об обозначениях, приведем примеры записей, дадим графические иллюстрации. В заключение проведем параллель между определениями синуса, косинуса, тангенса и котангенса в тригонометрии и геометрии.
Навигация по странице.
Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса
Проследим за тем, как формируются представление о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе в школьном курсе математики. На уроках геометрии дается определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике. А позже изучается тригонометрия, где говорится о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе угла поворота и числа. Приведем все эти определения, приведем примеры и дадим необходимые комментарии.
Острого угла в прямоугольном треугольнике
Из курса геометрии известны определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике. Они даются как отношение сторон прямоугольного треугольника. Приведем их формулировки.
Определение.
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Определение.
Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Определение.
Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к прилежащему.
Определение.
Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего катета к противолежащему.
Там же вводятся обозначения синуса, косинуса, тангенса и котангенса – sin , cos , tg и ctg соответственно.
Например, если АВС – прямоугольный треугольник с прямым углом С , то синус острого угла A равен отношению противолежащего катета BC к гипотенузе AB , то есть, sin∠A=BC/AB .
Эти определения позволяют вычислять значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла по известным длинам сторон прямоугольного треугольника, а также по известным значениям синуса, косинуса, тангенса, котангенса и длине одной из сторон находить длины других сторон. Например, если бы мы знали, что в прямоугольном треугольнике катет AC равен 3 , а гипотенуза AB равна 7 , то мы могли бы вычислить значение косинуса острого угла A по определению: cos∠A=AC/AB=3/7 .
Угла поворота
В тригонометрии на угол начинают смотреть более широко - вводят понятие угла поворота . Величина угла поворота, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов, угол поворота в градусах (и в радианах) может выражаться каким угодно действительным числом от −∞ до +∞ .
В этом свете дают определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса уже не острого угла, а угла произвольной величины - угла поворота. Они даются через координаты x и y точки A 1 , в которую переходит так называемая начальная точка A(1, 0) после ее поворота на угол α вокруг точки O – начала прямоугольной декартовой системы координат и центра единичной окружности .
Определение.
Синус угла поворота α - это ордината точки A 1 , то есть, sinα=y .
Определение.
Косинусом угла поворота α называют абсциссу точки A 1 , то есть, cosα=x .
Определение.
Тангенс угла поворота α - это отношение ординаты точки A 1 к ее абсциссе, то есть, tgα=y/x .
Определение.
Котангенсом угла поворота α называют отношение абсциссы точки A 1 к ее ординате, то есть, ctgα=x/y .
Синус и косинус определены для любого угла α , так как мы всегда можем определить абсциссу и ординату точки, которая получается в результате поворота начальной точки на угол α . А тангенс и котангенс определены не для любого угла. Тангенс не определен для таких углов α , при которых начальная точка переходит в точку с нулевой абсциссой (0, 1) или (0, −1) , а это имеет место при углах 90°+180°·k , k∈Z (π/2+π·k рад). Действительно, при таких углах поворота выражение tgα=y/x не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на нуль. Что же касается котангенса, то он не определен для таких углов α , при которых начальная точка переходит к в точку с нулевой ординатой (1, 0) или (−1, 0) , а это имеет место для углов 180°·k , k∈Z (π·k рад).
Итак, синус и косинус определены для любых углов поворота, тангенс определен для всех углов, кроме 90°+180°·k , k∈Z (π/2+π·k рад), а котангенс – для всех углов, кроме 180°·k , k∈Z (π·k рад).
В определениях фигурируют уже известные нам обозначения sin , cos , tg и ctg , они используются и для обозначения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла поворота (иногда можно встретить обозначения tan и cot , отвечающие тангенсу и котангенсу). Так синус угла поворота 30 градусов можно записать как sin30° , записям tg(−24°17′) и ctgα отвечают тангенс угла поворота −24 градуса 17 минут и котангенс угла поворота α . Напомним, что при записи радианной меры угла обозначение «рад» часто опускают. Например, косинус угла поворота в три пи рад обычно обозначают cos3·π .
В заключение этого пункта стоит заметить, что в разговоре про синус, косинус, тангенс и котангенс угла поворота часто опускают словосочетание «угол поворота» или слово «поворота». То есть, вместо фразы «синус угла поворота альфа» обычно используют фразу «синус угла альфа» или еще короче – «синус альфа». Это же касается и косинуса, и тангенса, и котангенса.
Также скажем, что определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике согласуются с только что данными определениями синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла поворота величиной от 0 до 90 градусов. Это мы обоснуем .
Числа
Определение.
Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называют число, равное синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу угла поворота в t радианов соответственно.
Например, косинус числа 8·π по определению есть число, равное косинусу угла в 8·π рад. А косинус угла в 8·π рад равен единице, поэтому, косинус числа 8·π равен 1 .
Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Он состоит в том, что каждому действительному числу t ставится в соответствие точка единичной окружности с центром в начале прямоугольной системы координат, и синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки. Остановимся на этом подробнее.
Покажем, как устанавливается соответствие между действительными числами и точками окружности:
- числу 0 ставится в соответствие начальная точка A(1, 0) ;
- положительному числу t ставится в соответствие точка единичной окружности, в которую мы попадем, если будем двигаться по окружности из начальной точки в направлении против часовой стрелки и пройдем путь длиной t ;
- отрицательному числу t ставится в соответствие точка единичной окружности, в которую мы попадем, если будем двигаться по окружности из начальной точки в направлении по часовой стрелке и пройдем путь длиной |t| .
Теперь переходим к определениями синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа t . Допустим, что числу t соответствует точка окружности A 1 (x, y) (например, числу &pi/2; отвечает точка A 1 (0, 1) ).
Определение.
Синусом числа t называют ординату точки единичной окружности, соответствующей числу t , то есть, sint=y .
Определение.
Косинусом числа t называют абсциссу точки единичной окружности, отвечающей числу t , то есть, cost=x .
Определение.
Тангенсом числа t называют отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t , то есть, tgt=y/x . В другой равносильной формулировке тангенс числа t – это отношение синуса этого числа к косинусу, то есть, tgt=sint/cost .
Определение.
Котангенсом числа t называют отношение абсциссы к ординате точки единичной окружности, соответствующей числу t , то есть, ctgt=x/y . Другая формулировка такова: тангенс числа t – это отношение косинуса числа t к синусу числа t : ctgt=cost/sint .
Здесь отметим, что только что данные определения согласуются с определением, данным в начале этого пункта. Действительно, точка единичной окружности, соответствующая числу t , совпадает с точкой, полученной в результате поворота начальной точки на угол в t радианов.
Еще стоит прояснить такой момент. Допустим, перед нами запись sin3 . Как понять, о синусе числа 3 или о синусе угла поворота в 3 радиана идет речь? Обычно это ясно из контекста, в противном случае это скорее всего не имеет принципиального значения.
Тригонометрические функции углового и числового аргумента
Согласно данным в предыдущем пункте определениям, каждому углу поворота α соответствуют вполне определенное значение sinα , как и значение cosα . Кроме того, всем углам поворота, отличным от 90°+180°·k , k∈Z (π/2+π·k рад) отвечают значения tgα , а отличным от 180°·k , k∈Z (π·k рад) – значения ctgα . Поэтому sinα , cosα , tgα и ctgα - это функции угла α . Другими словами – это функции углового аргумента.
Аналогично можно говорить и про функции синус, косинус, тангенс и котангенс числового аргумента. Действительно, каждому действительному числу t отвечает вполне определенное значение sint , как и cost . Кроме того, всем числам, отличным от π/2+π·k , k∈Z соответствуют значения tgt , а числам π·k , k∈Z - значения ctgt .
Функции синус, косинус, тангенс и котангенс называют основными тригонометрическими функциями .
Из контекста обычно понятно, с тригонометрическими функциями углового аргумента или числового аргумента мы имеем дело. В противном случае мы можем считать независимую переменную как мерой угла (угловым аргументом), так и числовым аргументом.
Однако, в школе в основном изучаются числовые функции, то есть, функции, аргументы которых, как и соответствующие им значения функции, являются числами. Поэтому, если речь идет именно о функциях, то целесообразно считать тригонометрические функции функциями числовых аргументов.
Связь определений из геометрии и тригонометрии
Если рассматривать угол поворота α величиной от 0 до 90 градусов, то данные в контексте тригонометрии определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла поворота полностью согласуются с определениями синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике, которые даются в курсе геометрии. Обоснуем это.
Изобразим в прямоугольной декартовой системе координат Oxy единичную окружность. Отметим начальную точку A(1, 0) . Повернем ее на угол α величиной от 0 до 90 градусов, получим точку A 1 (x, y) . Опустим из точки А 1 на ось Ox перпендикуляр A 1 H .
Легко видеть, что в прямоугольном треугольнике угол A 1 OH равен углу поворота α , длина прилежащего к этому углу катета OH равна абсциссе точки A 1 , то есть, |OH|=x , длина противолежащего к углу катета A 1 H равна ординате точки A 1 , то есть, |A 1 H|=y , а длина гипотенузы OA 1 равна единице, так как она является радиусом единичной окружности. Тогда по определению из геометрии синус острого угла α в прямоугольном треугольнике A 1 OH равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, то есть, sinα=|A 1 H|/|OA 1 |=y/1=y . А по определению из тригонометрии синус угла поворота α равен ординате точки A 1 , то есть, sinα=y . Отсюда видно, что определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике эквивалентно определению синуса угла поворота α при α от 0 до 90 градусов.
Аналогично можно показать, что и определения косинуса, тангенса и котангенса острого угла α согласуются с определениями косинуса, тангенса и котангенса угла поворота α .
Список литературы.
- Геометрия. 7-9 классы : учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. - 20-е изд. М.: Просвещение, 2010. - 384 с.: ил. - ISBN 978-5-09-023915-8.
- Погорелов А. В. Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений/ А. В. Погорелов. - 2-е изд - М.: Просвещение, 2001. - 224 с.: ил. - ISBN 5-09-010803-X.
- Алгебра и элементарные функции : Учебное пособие для учащихся 9 класса средней школы / Е. С. Кочетков, Е. С. Кочеткова; Под редакцией доктора физико-математических наук О. Н. Головина.- 4-е изд. М.: Просвещение, 1969.
- Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- ISBN 5-09-002727-7
- Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
- Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч. 1: учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/ А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 4-е изд., доп. - М.: Мнемозина, 2007. - 424 с.: ил. ISBN 978-5-346-00792-0.
- Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни /[Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; под ред. А. Б. Жижченко. - 3-е изд. - И.: Просвещение, 2010.- 368 с.: ил.- ISBN 978-5-09-022771-1.
- Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1993. - 351 с.: ил. - ISBN 5-09-004617-4.
- Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.
|BD|
- длина дуги окружности с центром в точке A
.
α
- угол, выраженный в радианах.
Синус (sin
α
) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине гипотенузы |AC|.
Косинус (cos
α
) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине гипотенузы |AC|.
Принятые обозначения
;
;
.
;
;
.
График функции синус, y = sin x
График функции косинус, y = cos x
Свойства синуса и косинуса
Периодичность
Функции y = sin x и y = cos x периодичны с периодом 2 π .
Четность
Функция синус - нечетная. Функция косинус - четная.
Область определения и значений, экстремумы, возрастание, убывание
Функции синус и косинус непрерывны на своей области определения, то есть для всех x (см. доказательство непрерывности). Их основные свойства представлены в таблице (n - целое).
| y = sin x | y = cos x | |
| Область определения и непрерывность | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Область значений | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
| Возрастание | ||
| Убывание | ||
| Максимумы, y = 1 | ||
| Минимумы, y = -1 | ||
| Нули, y = 0 | ||
| Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | y = 0 | y = 1 |
Основные формулы
Сумма квадратов синуса и косинуса
Формулы синуса и косинуса от суммы и разности
;
;
Формулы произведения синусов и косинусов
Формулы суммы и разности
Выражение синуса через косинус
;
;
;
.
Выражение косинуса через синус
;
;
;
.
Выражение через тангенс
; .
При ,
имеем:
;
.
При :
;
.
Таблица синусов и косинусов, тангенсов и котангенсов
В данной таблице представлены значения синусов и косинусов при некоторых значениях аргумента. 
Выражения через комплексные переменные
;
Формула Эйлера
Выражения через гиперболические функции
;
;
Производные
; . Вывод формул > > >
Производные n-го порядка:
{ -∞ <
x < +∞ }
Секанс, косеканс
Обратные функции
Обратными функциями к синусу и косинусу являются арксинус и арккосинус , соответственно.
Арксинус, arcsin
Арккосинус, arccos
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Цели урока:
Главная дидактическая цель: рассмотреть все возможные способы решения данного уравнения.
Обучающие: изучение новых приемов решения тригонометрических уравнений на примере данного в творческой ситуации урока-семинара.
Развивающие: формирование общих приемов решения тригонометрических уравнений; совершенствование мыслительных операций учащихся; развитие умений и навыков устной монологической математической речи при изложении решения тригонометрического уравнения.
Воспитывающие: развивать самостоятельность и творчество; способствовать выработке у школьников желания и потребности обобщения изучаемых фактов.
Вопросы для подготовки и дальнейшего обсуждения на семинаре.
Все учащиеся разбиваются на группы (по 2-4 человека) в зависимости от общего количества учащихся и их индивидуальных способностей и желания. Самостоятельно определяют для себя тему для подготовки и выступления на уроке-семинаре. Выступает один человек от группы, а остальные учащиеся принимают участие в дополнениях и исправлениях ошибок, если в этом возникнет необходимость.
Организационный момент.
Учащимся сообщаются:
Тема урока:
“Различные способы решения тригонометрического уравнения sin x - cos x = 1
Форма проведения: урок – семинар.
Эпиграф к уроку:
“Крупное научное открытие дает решение крупной проблемы, но и в решении любой задачи присутствует крупица открытия. Задача, которую вы решаете, может быть скромной, но если она бросает вызов вашей любознательности и заставляет вас быть изобретательными и если вы решаете ее собственными силами, то вы сможете испытать ведущее к открытию напряжение ума и насладиться радостью победы”
(Д. Пойа)
Задачи урока:
а) рассмотреть возможность решения одного и
того же уравнения различными способами;
б) познакомиться с различными общими приемами
решения тригонометрических уравнений;
в) изучение нового материала (введение
вспомогательного угла, универсальная
подстановка).
План семинара
- Приведение уравнения к однородному относительно синуса и косинуса.
- Разложение левой части уравнения на множители.
- Введение вспомогательного угла.
- Преобразование разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение.
- Приведение к квадратному уравнению относительно одной из функций.
- Возведение обеих частей уравнения в квадрат.
- Выражение всех функций через tg x (универсальная подстановка).
- Графическое решения уравнения.
1. Слово предоставляется первому участнику.
Приведение уравнения sin x - cos x = 1 к
однородному относительно синуса и косинуса.
Разложим левую часть по формулам двойного
аргумента, а правую часть заменим
тригонометрической единицей, используя основное
тригонометрическое тождество:
2 sin cos - cos + sin = sin + cos ;
2 sin cos - cos =0 ;
cos 
= 0;
Произведение равно нулю, если хотя бы один из
множителей равен нулю, а другие при этом не
теряют смысла, поэтому следует
cos =0 ; =
= 0 -
однородное уравнение первой степени. Делим обе
части уравнения на cos . (cos 0, так как если
cos = 0 , то sin - 0 = 0 sin = 0, а это противоречит
тригонометрическому тождеству sin + cos = 1).
Ответ:
2. Слово предоставляется второму участнику.
Разложение левой части уравнения sin x - cos x = 1 на множители.
sin x – (1+ cos x) = 1; используем формулы 1+ cos x = 2 , 
получим 
;
далее аналогично:
произведение равно нулю, если хотя бы один из
множителей равен нулю, а другие при этом не
теряют смысла, поэтому следует
cos =0 ; = = 0 -
однородное уравнение первой степени. Делим обе
части уравнения на cos . (cos 0, так как если
cos = 0 , то sin - 0 = 0 sin = 0, а это противоречит
тригонометрическому тождеству sin + cos = 1)
Получим tg -1
= 0 ; tg = 1 ; =
Ответ:
3. Слово предоставляется третьему участнику.
Решение уравнения sin x - cos x = 1 введением вспомогательного угла.
Рассмотрим уравнение sin x - cos x = 1. Умножим и
разделим каждое слагаемое левой части
уравнения на .
Получим 
и
вынесем в левой части уравнения за скобку. Получим 
; Разделим обе
части уравнения на и используем табличные значения
тригонометрических функций. Получим 
; Применим
формулу синус разности.
;
Легко установить(с помощью тригонометрического
круга), что полученное решение распадается на два
случая: 
; 
Ответ:
4. Слово предоставляется четвертому участнику.
Решение уравнения sin x - cos x = 1 способом преобразования разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение.
Запишем уравнение в виде 
, используя формулу приведения 
. Применяя
формулу разности двух синусов, получим
;
Ответ:
5. Слово предоставляется пятому участнику.
Решение уравнения sin x - cos x = 1 способом приведения к квадратному уравнению относительно одной из функций.
Рассмотрим основное тригонометрическое
тождество 
,
откуда следует
подставим
полученное выражение в данное уравнение.
sin x - cos x = 1 
,
Возведем обе части полученного уравнения в квадрат:
В процессе решения обе части уравнения возводились в квадрат, что могло привести к появлению посторонних решений, поэтому необходима проверка. Выполним ее.
Полученные решения эквивалентны объединению
трех решений: 
Первое и второе решения совпадают с ранее
полученными, поэтому не являются посторонними.
Остается проверить третье решение 
Подставим.
Левая часть:
Правая часть: 1.
Получили: ,
следовательно, – постороннее решение.
Ответ:
6. Слово предоставляется шестому участнику.
Возведение обеих частей уравнения sin x - cos x = 1 в квадрат.
Рассмотрим уравнение sin x - cos x = 1. Возведем обе части данного уравнения в квадрат.
;
Используя основное тригонометрическое
тождество и формулу синуса двойного угла,
получим ; sin 2x = 0 ; 
. не имеет
смысла, т. е.
или .
Следует проверить, не являются ли решениями данного уравнения. Подставим в левую и правую часть уравнения эти решения.
Левая часть: .
Правая часть: 1.
Получили 1=1. Значит, - решение данного уравнения.
Ответ:
8. Слово предоставляется восьмому участнику.
Рассмотрим графическое решение уравнения sin x - cos x = 1.
Запишем рассматриваемое уравнение в виде sin x = 1 + cos x.
Построим в системе координат Оxy графики функций, соответствующих левой и правой частям уравнения. Абсциссы точек пересечения графиков являются решениями данного уравнения.
y = sin x – график: синусоида.
y = cos x +1 – график: косинусоида y = cos x, смещенная на 1
вверх по оси Oy. Абсциссы точек пересечения
являются решениями данного уравнения.
Ответ:
Итог урока.
Список использованной литературы:
- Татарченкова С.С. Урок как педагогический феномен – Санкт-Петербург: Каро, 2005
- Выгодский Н.В. Справочник по элементарной математике.-М.: Наука, 1975.
- Виленкин Н.Я. и др. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия: Книга для учащихся 10-11 класса – М.: Просвещение, 1996.
- Гнеденко Б.В. Очерки по истории математики в России – М.: ОГИЗ, 1946.
- Депман И.Я. и др. За страницами учебника математики – М.: Просвещение, 1999.
- Дорофеев Г.В. и др. Математика: для поступающих в вузы – М.: Дрофа, 2000.
- Математика: Большой энциклопедический словарь. – М.: БСЭ, 1998.
- Мордкович А.Г. и др. Справочник школьника по математике. 10-11кл. Алгебра и начала анализа. – М.: Аквариум, 1997.
- 300 конкурсных задач по математике. – М.: Рольф, 2000.
- 3600 задач по алгебре и началам анализа. – М.: Дрофа, 1999.
- Школьная программа в таблицах и формулах. Большой универсальный справочник. – М.: Дрофа, 1999.
- Торосян В.Г. История образования и педагогической мысли: учеб. для студентов вузов. - М.: Изд-во ВЛАДОС-ПРЕСС, 2006.- 351 с.
- Крылова Н.Б. Педагогическая, психологическая и нравственная поддержка как пространство личностных изменений ребёнка и взрослого.// Классный руководитель.- 2000.- №3. –С.92-103.
Задание
.
Найти значение х при .
Решение.
Найти значение аргумента функции , при котором он равен какому-либо значению, означает определить, при каких аргументах значение синуса будет именно таким, как указано в условии.
В данном случае нам нужно выяснить, при каких значениях значение синуса будет равным 1/2. Это можно сделать несколькими способами.
Например, использовать , по которому определить при каких значениях х функция синус будет равна 1/2.
Другим способом является использование . Напомню, что значения синусов лежат на оси Оу.
Самым распространенным способом является обращение к , особенно если речь идет о таких стандартных для этой функции значениях, как 1/2.
Во всех случаях не стоит забывать об одном из важнейших свойств синуса — о его периоде.
Найдем в таблице значение 1/2 для синуса и посмотрим какие аргументы ему соответствуют. Интересующие нас аргументы равны Пи / 6 и 5Пи / 6.
Запишем все корни, которые удовлетворяют заданное уравнение. Для этого записываем интересующий нас неизвестный аргумент х и одно из значений аргумента, полученное из таблицы, то есть Пи / 6. Запишем для него, учитывая период синуса, все значения аргумента:
Возьмем второе значение, и проделаем те же шаги, что и в предыдущем случае:
Полным решением исходного уравнения будет:
и 
q
может принимать значение любого целого числа.