Метод применим для минимизации функций алгебры логики от любого числа переменных.

Рассмотрим случай трех переменных. Булева функция в ДНФ может быть представлена в виде всевозможных конъюнктивных членов, которые могут входить в ДНФ:

где kО{0,1} ‑ коэффициенты. Метод заключается в подборе коэффициентов таким образом, чтобы получаемая ДНФ была минимальной.

Если теперь задать всевозможные значения переменных от 000 до 111, то получим 2 n (2 3 =8) уравнений для определения коэффициентов k :

Рассматривая наборы, на которых функция принимает нулевое значение, определяют коэффициенты, которые равны 0, и вычеркивают их из уравнений, в правой части которых стоит 1. Из оставшихся коэффициентов в каждом уравнении к единице приравнивают по одному коэффициенту, определяющему конъюнкцию наименьшего ранга. Остальные коэффициенты приравнивают к 0. Итак, единичные коэффициенты k определяют соответствующую минимальную форму.

Пример . Минимизировать заданную функцию

если известны значения: ; ; ; ; ; ; ; .

Решение.

После вычеркивания нулевых коэффициентов получим:

=1;

=1;

=1.

Приравняем к единице коэффициент , соответствующий конъюнкции наименьшего ранга и обращающий четыре последних уравнения в 1, а в первом уравнении целесообразно приравнять к 1 коэффициент . Остальные коэффициенты приравнивают к 0.

Ответ : вид минимизированной функции .

Следует отметить, что метод неопределенных коэффициентов эффективен, когда число переменных невелико и не превышает 5-6.

Многомерный куб

Рассмотрим графическое представление функции в виде многомерного куба. Каждой вершине n -мерного куба можно поставить в соответствие конституенту единицы.

Подмножество отмеченных вершин является отображением на n -мерном кубе булевой функции от n переменных в СДНФ.

Для отображения функции от n переменных, представленной в любой ДНФ, необходимо установить соответствие между ее минитермами и элементами n -мерного куба.

Минитерм (n-1)-го ранга можно рассматривать как результат склеивания двух минитермов n -го ранга, т.е.

На n -мерном кубе это соответствует замене двух вершин, которые отличаются только значениями координат х i , соединяющих эти вершины ребром (говорят, что ребро покрывает инцидентные ему вершины).

Таким образом, минитермам (n -1)-го порядка соответствуют ребра n-мерного куба.

Аналогично устанавливается соответствие минитермов (n -2)-го порядка граням n -мерного куба, каждая из которых покрывает четыре вершины (и четыре ребра).

Элементы n -мерного куба, характеризующиеся S измерениями, называются S -кубами.

Так вершины являются 0-кубами, ребра 1-кубами, грани 2-кубами и т.д.

Обобщая, можно сказать, что минитерм (n-S ) ранга в ДНФ для функции n переменных отображается S -кубом, причем каждый S -куб покрывает все те кубы низшей размерности, которые связаны только с его вершинами.

Пример. На рис. дано отображение

Здесь минитермы и соответствуют 1-кубам (S =3-2=1), а минитерм х 3 отображается 2-кубам (S =3-1=2).

Итак, любая ДНФ отображается на n -мерном кубе совокупностью S -кубов, которые покрывают все вершины, соответствующие конституентам единицам (0-куба).

Конституенты . Для переменных х 1 , х 2 ,… х n выражение называют конституентой единицы, а - конституентой нуля ( означает либо , либо ).

Данная конституента единицы (нуля) обращается в единицу (нуль) только при одном соответствующем ей наборе значений переменных, который получается, если все переменные принять равными единице (нулю), а их отрицания - нулю (единице).

Например: конституенте единице соответствует набор (1011), а конституенте нуля - набор (1001).

Так как СД(К)НФ является дизъюнкцией (конъюнкцией) конституент единицы (нуля), то можно утверждать, что представляемая ею булева функция f (x 1 ,x 2 ,…,x n ) обращается в единицу (нуль) только при наборах значений переменных x 1 ,x 2 ,…,x n , соответствующих этим копституантам. На остальных наборах эта функция обращается в 0 (единицу).

Справедливо и обратное утверждение, на котором основан способ представления в виде формулы любой булевой функции, заданной таблицей.

Для этого необходимо записать дизъюнкции (конъюнкции) конституент единицы (нуля), соответствующих наборам значений переменных, на которых функция принимает значение, равное единице (нулю).

Например, функции, заданной таблицей

соответствуют

Полученные выражения можно преобразовать к другому виду на основании свойств алгебры логики.

Справедливо и обратное утверждение: если некоторая совокупность S -кубов покрывает множество всех вершин, соответствующих единичным значениям функции, то дизъюнкция соответствующих этим S -кубам минитермов является выражением данной функции в ДНФ.

Говорят, что такая совокупность S -кубов (или соответствующих им минитермов) образует покрытие функции. Стремление к минимальной форме интуитивно понимается как поиск такого покрытия, число S -кубов которого было бы поменьше, а их размерность S - побольше. Покрытие, соответствующее минимальной форме, называют минимальным покрытием.

Например, для функции у = покрытие соответствует неминимальной форме.

Приветствую всех, дорогие друзья!

Ну что, поздравляю! Мы с вами благополучно добрались до основного материала в интегрировании рациональных дробей - метода неопределённых коэффициентов . Великого и могучего.) В чём же заключается его величество и могущество? А заключается оно в его универсальности. Имеет смысл ознакомиться, правда? Предупреждаю, что уроков по данной теме будет несколько. Ибо тема очень длинная, а материал крайне важный.)

Сразу скажу, что в сегодняшнем уроке (и последующих тоже) мы будем заниматься не столько интегрированием, сколько… решением систем линейных уравнений! Да-да! Так что те у кого проблемы с системами, повторите матрицы, определители и метод Крамера. А тех товарищей, у кого и с матрицами туго, призываю, на худой конец, освежить в памяти хотя бы "школьные" методы решения систем - метод подстановки и метод почленного сложения/вычитания.

Для начала нашего знакомства отмотаем плёнку немного назад. Ненадолго вернёмся к прошлым урокам и проанализируем все те дроби, которые мы с вами интегрировали до этого. Напрямую, безо всякого метода неопределённых коэффициентов! Вот они, эти дроби. Я рассортировал их по трём группам.

Группа 1

В знаменателе – линейная функция либо сама по себе, либо же в степени . Одним словом, в знаменателе стоит произведение одинаковых скобок вида (х-а) .

Например:

(x+4) 1 = (x+4)

(x-10) 2 = (x-10)(x-10)

(2x+5) 3 = (2x+5)(2x+5)(2x+5)

И так далее. Кстати, пусть вас не смущают скобки (4х+5) или (2х+5) 3 с коэффициентом k внутри. Это всё равно, по своей сути, скобки вида (х-а) . Ибо это самое k из таких скобок всегда можно вынести наружу.

Вот так:

Вот и всё.) И неважно, что именно при этом стоит в числителе – просто dx или же многочлен какой. Мы всегда раскладывали числитель по степеням скобки (x-a) , превращали большую дробь в сумму маленьких, подводили (где надо) скобку под дифференциал и интегрировали.

Группа 2

Что общего у этих дробей?

А общее то, что во всех знаменателях стоит квадратный трёхчлен ax 2 + bx + c . Но не просто, а именно в единственном экземпляре . И неважно здесь, положительный у него дискриминант или отрицательный.

Такие дроби всегда интегрировались одним из двух способов - либо разложением числителя по степеням знаменателя, либо выделением полного квадрата в знаменателе с последующей заменой переменной. Всё зависит от конкретной подынтегральной функции.

Группа 3

Это были самые нехорошие для интегрирования дроби. В знаменателе – неразложимый квадратный трёхчлен, да ещё и в степени n . Но, опять же, в единственном экземпляре . Ибо, кроме трёхчлена, других множителей в знаменателе нету. Такие дроби интегрировались по . Либо напрямую, либо сводились к ней после выделения полного квадрата в знаменателе и последующей замены переменной.

Однако, к сожалению, всё богатое многообразие рациональных дробей не ограничивается только лишь этими тремя рассмотренными группами.

А как быть, если в знаменателе стоят разные скобки? Например, что-нибудь типа:

(х-1)(х+1)(х+2)

Или одновременно скобка (х-а) и квадратный трёхчлен, что-то типа (х-10)(х 2 -2х+17) ? И в других подобных случаях? Вот, именно в таких случаях и приходит на помощь метод неопределённых коэффициентов !

Сразу скажу: работать мы пока что будем только с правильными дробями. Теми, у которых степень числителя строго меньше степени знаменателя. Как быть с неправильными дробями, подробно рассказано в по дробям. Надо выделять целую часть (многочлен). Делением уголком числителя на знаменатель или разложением числителя – как хотите. И даже пример разобран. А многочлен вы уж как-нибудь худо-бедно проинтегрируете. Не маленькие уже поди.) Но на неправильные дроби тоже порешаем примеры!

А теперь начинаем знакомиться. В отличие от большинства учебников по высшей математике, наше знакомство мы начнём не с сухой и грузной теории про основную теорему алгебры, теорему Безу, про разложение рациональной дроби на сумму простейших (об этих дробях позже) и прочего занудства, а начнём мы с несложного примера.

Например, нам требуется найти вот такой неопределённый интеграл:

Первый взгляд на подынтегральную дробь. В знаменателе стоит произведение трёх скобок:

(x-1)(x+3)(x+5)

Причём все скобки разные . Поэтому наша старая технология с разложением числителя по степеням знаменателя в этот раз уже не прокатывает: какую именно скобку выделять в числителе? (х-1)? (х+3)? Непонятно… Выделение полного квадрата в знаменателе – тоже не в кассу: там многочлен третьей степени (если перемножить все скобки). Что делать?

При взгляде на нашу дробь возникает вполне естественное желание… Прямо-таки непреодолимое! Из нашей большой дроби, которую неудобно интегрировать, как-то сделать три маленьких. Хотя бы вот так:

Почему именно такой вид надо искать? А всё потому, что в таком виде наша исходная дробь уже удобна для интегрирования! Подводим знаменатель каждой маленькой дроби и – вперёд.)

А можно ли вообще получить такое разложение? Новость хорошая! Соответствующая теорема математики гласит – да, можно ! Такое разложение существует и единственно.

Но есть одна проблемка: коэффициенты А , В и С мы пока не знаем. И сейчас нашей основной задачей как раз и будет их определить . Узнать, чему же равны наши буковки А , В и С . Отсюда и название – метод неопределённых коэффициентов. Начнём наше сказочное путешествие!

Итак, у нас есть равенство, от которого мы начинаем плясать:

Давайте приведём справа все три дроби к общему знаменателю и сложим:

Теперь можно смело отбросить знаменатели (ибо они одинаковы) и просто приравнять числители. Всё как в обычном

Следующим шагом раскрываем все скобки (коэффициенты А , В и С пока лучше оставить снаружи):

А теперь (важно!) выстраиваем всю нашу конструкцию справа по старшинству степеней : сначала собираем в кучку все члены с х 2 , потом - просто с иксом и, наконец, собираем свободные члены. Фактически, просто приводим подобные и группируем слагаемые по степеням икс.

Вот так:

А теперь осмысливаем результат. Слева - наш исходный многочлен. Второй степени. Числитель нашей подынтегральной дроби. Справа - тоже некоторый многочлен второй степени. Но с неизвестными коэффициентами. Данное равенство должно быть справедливо при всех допустимых значениях икс . Дроби-то слева и справа были одинаковые (по нашему условию)! Это означает, что их числител и (т.е. наши многочлены) - тоже одинаковые. Стало быть, коэффициенты при одинаковых степенях икс у этих многочленов обязательно должны быть равны!

Начинаем с самой старшей степени. С квадрата. Смотрим, что за коэффициенты у нас стоят при х 2 слева и справа. Справа у нас стоит сумма коэффициентов А+В+С , а слева – двойка. Так у нас рождается первое уравнение.

Записываем:

А+В+С = 2

Есть. Первое уравнение готово.)

Далее идём по снижающейся траектории – смотрим на члены с иксом в первой степени. Справа при икс у нас стоит 8А+4В+2С . Хорошо. А что у нас при икс стоит слева? Гм… Слева вообще никакого слагаемого с иксом нету! Там только 2х 2 - 3. Как быть? Очень просто! Это значит, что коэффициент при икс слева у нас равен нулю! Мы же можем записать нашу левую часть вот так:

А что? Имеем полное право.) Отсюда второе уравнение выглядит так:

8 A +4 B +2 C = 0

Ну вот, практически, и всё. Осталось приравнять свободные члены:

15А-5В-3С = -3

Одним словом, приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях икса происходит по такой схеме:

Все три наших равенства должны выполняться одновременно. Поэтому собираем из наших выписанных уравнений систему:

Системка не самая трудная для прилежного студента – три уравнения и три неизвестных. Как хотите, так и решайте. Можно методом Крамера через матрицы с определителями, можно методом Гаусса, можно даже обычной школьной подстановкой.

Для начала я решу эту систему так, как обычно решают такие системы культурные студенты. А именно - методом Крамера.

Решение начинаем с составления матрицы системы. Напоминаю, что эта матрица - просто табличка, составленная из коэффициентов при неизвестных.

Вот она:

Первым делом вычисляем определитель матрицы системы. Или, коротко, определитель системы. Обычно он обозначается греческой буквой ∆ ("дельта"):

Отлично, определитель системы не равен нулю (-48 ≠0) . Из теории систем линейных уравнений этот факт означает, что наша система совместна и имеет единственное решение.

Следующим шагом вычисляем определители неизвестных ∆ A , ∆ B , ∆ C . Напоминаю, что каждый из этих трёх определителей получается из основного определителя системы путём замены столбцов с коэффициентами при соответствующих неизвестных на столбец свободных членов.

Вот и составляем определители и считаем:

Подробно объяснять технику вычисления определителей третьего порядка я здесь не буду. И не просите. Это уже совсем отклонение от темы будет.) Кто в теме, тот понимает, о чём речь. И, возможно, уже догадался, каким именно способом я вычислил эти три определителя.)

Вот всё и готово.)

Так обычно решают системы культурные студенты. Но… Не все студенты дружат с и определителями. К сожалению. Для кого-то эти простые понятия высшей математики так навсегда и остаются китайской грамотой и таинственным монстром в тумане...

Что ж, специально для таких некультурных студентов предлагаю более привычный способ решения - метод последовательного исключения неизвестных. Фактически, это продвинутый "школьный" метод подстановки. Только шагов побольше будет.) Но суть та же самая. Первым делом я исключу переменную С . Для этого я выражу С из первого уравнения и подставлю во второе и третье:

Упрощаем, приводим подобные и получаем новую систему, уже с двумя неизвестными:

Теперь, в этой новой системе, тоже можно выразить одну из переменных через другую. Но самые внимательные студенты, возможно, заметят, что коэффициенты перед переменной B – противоположны . Два и минус два. Стало быть, очень удобно будет сложить между собой оба уравнения, чтобы исключить переменную В и оставить только букву А .

Складываем левые и правые части, мысленно сокращаем 2B и -2B и решаем уравнение только относительно А :

Есть. Первый коэффициент найден: А = -1/24 .

Определяем второй коэффициент В . Например, из верхнего уравнения:

Отсюда получаем:

Отлично. Второй коэффициент тоже найден: B = -15/8 . Осталась ещё буковка С . Для её определения используем самое верхнее уравнение, где она у нас выражена через А и В :

Итак:

Ну вот и всё. Неизвестные коэффициенты найдены! Неважно, через Крамера или через подстановку. Главное, правильно найдены.)

Стало быть, наше разложение большой дроби в сумму маленьких будет выглядеть вот так:

И пусть вас не смущают полученные дробные коэффициенты: в данной процедуре (методе неопределённых коэффициентов) это самое обычное явление. :)

А теперь крайне желательно проверить, правильно ли мы нашли наши коэффициенты A , B и С . Поэтому сейчас берём черновик и вспоминаем восьмой класс – складываем обратно все три наши маленькие дроби.

Если мы получим исходную большую дробь – значит, всё хорошо. Нет – значит, бейте меня ищите ошибку.

Общий знаменатель, очевидно, будет 24(х-1)(х+3)(х+5).

Поехали:

Йес!!! Получили исходную дробь. Что и требовалось проверить. Всё гуд. Так что прошу не бить.)

А теперь возвращаемся к нашему исходному интегралу. Легче он за это время не стал, да. Но теперь, когда наша дробь разложена в сумму маленьких, её интегрирование стало сплошным удовольствием!

Смотрите сами! Вставляем наше разложение в исходный интеграл.

Получаем:

Пользуемся свойствами линейности и разбиваем наш большой интеграл в сумму маленьких, все константы выносим за знаки интеграла.

Получаем:

А полученные три маленьких интеграла уже легко берутся .

Продолжаем интегрирование:

Вот и всё.) И не надо в данном уроке спрашивать меня, откуда в ответе взялись логарифмы! Кто помнит , тот в теме и всё поймёт. А кто не помнит - гуляем по ссылочкам. Я их не просто так ставлю.

Окончательный ответ:

Вот такая красивая троица: три логарифма – трус, бывалый и балбес. :) И попробуй, догадайся до такого хитрого ответа с ходу! Только метод неопределённых коэффициентов и выручает, да.) Собственно, с этой целью и разбираемся. Что, как и откуда.

В качестве тренировочного упражнения, предлагаю вам попрактиковаться в методе и проинтегрировать вот такую дробь:

Потренируйтесь, найдите интеграл, не сочтите за труд! Должен получиться вот такой ответ:

Метод неопределённых коэффициентов – штука мощная. Спасает даже в самой безнадёжной ситуации, когда и так дробь преобразовываешь, и эдак. И вот тут у некоторых внимательных и интересующихся читателей, возможно, возник целый ряд вопросов:

- Что делать, если многочлен в знаменателе вообще не разложен на множители?

- КАК надо искать разложение любой большой рациональной дроби на сумму маленьких? В каком виде? Почему именно в таком, а не сяком?

- Что делать, если в разложении знаменателя есть кратные множители? Или скобки в степенях типа (х-1) 2 ? В каком виде искать разложение?

- Что делать, если, помимо простых скобок вида (х-а), знаменатель одновременно содержит и неразложимый квадратный трёхчлен? Скажем, х 2 +4х+5 ? В каком виде искать разложение?

Что ж, пришла пора основательно разбираться, откуда ноги растут. В следующих уроках.)

Рациональная функция - это дробь вида , числитель и знаменатель которой - многочлены или произведения многочленов.

Пример 1. Шаг 2.

.

Умножаем неопределённые коэффициенты на многочлены, которых нет в данной отдельной дроби, но которые есть в других полученных дробях:

Раскрываем скобки и приравниваем полученое к полученному выражению числитель исходной подынтегральной дроби:

В обеих частях равенства отыскиваем слагаемые с одинаковыми степенями икса и составляем из них систему уравнений:

.

Сокращаем все иксы и получаем эквивалентную систему уравнений:

.

Таким образом, окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:

.

Пример 2. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:

.

Теперь начинаем искать неопределённые коэффициенты. Для этого числитель исходной дроби в выражении функции приравниваем к числителю выражения, полученного после приведения суммы дробей к общему знаменателю:

Теперь требуется составить и решить систему уравнений. Для этого приравниваем коэффициенты при переменной в соответствующей степени в числителе исходного выражения функции и аналогичные коэффициенты в полученном на предыдущем шаге выражения:

Решаем полученную систему:

Итак, , отсюда

.

Пример 3. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:

Начинаем искать неопределённые коэффициенты. Для этого числитель исходной дроби в выражении функции приравниваем к числителю выражения, полученного после приведения суммы дробей к общему знаменателю:

Как и в предыдущих примерах составляем систему уравнений:

Сокращаем иксы и получаем эквивалентную систему уравнений:

Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:

Получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:

.

Пример 4. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:

.

Как приравнивать числитель исходной дроби к выражению в числителе, полученному после разложения дроби на сумму простых дробей и приведения этой суммы к общему знаменателю, мы уже знаем из предыдуших примеров. Поэтому лишь для контроля приведём получившуюся систему уравнений:

Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:

Получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:

Пример 5. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:

.

Самостоятельно приводим к общему знаменателю эту сумму, приравнивать числитель этого выражения к числителю исходной дроби. В результате должна получиться следующая система уравнений:

Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:

.

Получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:

.

Пример 6. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:

Производим с этой суммой те же действия, что и в предыдущих примерах. В результате должна получиться следующая система уравнений:

Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:

.

Получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:

.

Пример 7. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:

.

После известных действий с полученной суммой должна получиться следующая система уравнений:

Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:

Получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:

.

Пример 8. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:

.

Внесём некоторые изменения в уже доведённые до автоматизма действия для получения системы уравнений. Есть искусственный приём, который в некоторых случаях помогает избежать лишних вычислений. Приводя сумму дробей к общему знаменателю получаем и приравнивая числитель этого выражения к числителю исходной дроби, получаем.

Метод применим для минимизации функций алгебры логики от любого числа переменных.

Рассмотрим случай трех переменных. Булева функция в ДНФ может быть представлена в виде всевозможных конъюнктивных членов, которые могут входить в ДНФ:

где kÎ{0,1} ‑ коэффициенты. Метод заключается в подборе коэффициентов таким образом, чтобы получаемая ДНФ была минимальной.

Если теперь задать всевозможные значения переменных от 000 до 111, то получим 2 n (2 3 =8) уравнений для определения коэффициентов k :

Рассматривая наборы, на которых функция принимает нулевое значение, определяют коэффициенты, которые равны 0, и вычеркивают их из уравнений, в правой части которых стоит 1. Из оставшихся коэффициентов в каждом уравнении к единице приравнивают по одному коэффициенту, определяющему конъюнкцию наименьшего ранга. Остальные коэффициенты приравнивают к 0. Итак, единичные коэффициенты k определяют соответствующую минимальную форму.

Пример . Минимизировать заданную функцию

если известны значения:
;
;
;
;
;
;
;
.

Решение.

После вычеркивания нулевых коэффициентов получим:

=1;

=1;

=1;

=1.

Приравняем к единице коэффициент , соответствующий конъюнкции наименьшего ранга и обращающий четыре последних уравнения в 1, а в первом уравнении целесообразно приравнять к 1 коэффициент. Остальные коэффициенты приравнивают к 0.

Ответ : вид минимизированной функции .

Следует отметить, что метод неопределенных коэффициентов эффективен, когда число переменных невелико и не превышает 5-6.

Многомерный куб

Рассмотрим графическое представление функции в виде многомерного куба. Каждой вершине n -мерного куба можно поставить в соответствие конституенту единицы.

Подмножество отмеченных вершин является отображением на n -мерном кубе булевой функции от n переменных в СДНФ.

Для отображения функции от n переменных, представленной в любой ДНФ, необходимо установить соответствие между ее минитермами и элементами n -мерного куба.

Минитерм (n-1)-го ранга
можно рассматривать как результат склеивания двух минитермовn -го ранга, т.е.

=

На n -мерном кубе это соответствует замене двух вершин, которые отличаются только значениями координат х i , соединяющих эти вершины ребром (говорят, что ребро покрывает инцидентные ему вершины).

Таким образом, минитермам (n -1)-го порядка соответствуют ребра n-мерного куба.

Аналогично устанавливается соответствие минитермов (n -2)-го порядка граням n -мерного куба, каждая из которых покрывает четыре вершины (и четыре ребра).

Элементы n -мерного куба, характеризующиеся S измерениями, называются S -кубами.

Так вершины являются 0-кубами, ребра 1-кубами, грани 2-кубами и т.д.

Обобщая, можно сказать, что минитерм (n-S ) ранга в ДНФ для функции n переменных отображается S -кубом, причем каждый S -куб покрывает все те кубы низшей размерности, которые связаны только с его вершинами.

Пример. На рис. дано отображение

Здесь минитермы
и
соответствуют 1-кубам (S =3-2=1), а минитерм х 3 отображается 2-кубам (S =3-1=2).

Итак, любая ДНФ отображается на n -мерном кубе совокупностью S -кубов, которые покрывают все вершины, соответствующие конституентам единицам (0-куба).

Конституенты . Для переменных х 1 , х 2 ,… х n выражение
называют конституентой единицы, а
- конституентой нуля (означает либо, либо).

Данная конституента единицы (нуля) обращается в единицу (нуль) только при одном соответствующем ей наборе значений переменных, который получается, если все переменные принять равными единице (нулю), а их отрицания - нулю (единице).

Например: конституенте единице
соответствует набор (1011), а конституенте нуля
- набор (1001).

Так как СД(К)НФ является дизъюнкцией (конъюнкцией) конституент единицы (нуля), то можно утверждать, что представляемая ею булева функция f (x 1 , x 2 ,…, x n ) обращается в единицу (нуль) только при наборах значений переменных x 1 , x 2 ,…, x n , соответствующих этим копституантам. На остальных наборах эта функция обращается в 0 (единицу).

Справедливо и обратное утверждение, на котором основан способ представления в виде формулы любой булевой функции, заданной таблицей.

Для этого необходимо записать дизъюнкции (конъюнкции) конституент единицы (нуля), соответствующих наборам значений переменных, на которых функция принимает значение, равное единице (нулю).

Например, функции, заданной таблицей

соответствуют

Полученные выражения можно преобразовать к другому виду на основании свойств алгебры логики.

Справедливо и обратное утверждение: если некоторая совокупность S -кубов покрывает множество всех вершин, соответствующих единичным значениям функции, то дизъюнкция соответствующих этим S -кубам минитермов является выражением данной функции в ДНФ.

Говорят, что такая совокупность S -кубов (или соответствующих им минитермов) образует покрытие функции. Стремление к минимальной форме интуитивно понимается как поиск такого покрытия, число S -кубов которого было бы поменьше, а их размерность S - побольше. Покрытие, соответствующее минимальной форме, называют минимальным покрытием.

Например, для функции у =
покрытие соответствует неминимальной форме:

рис a) у =,

а покрытия на рис б) у =
, рис в) у =
минимальные.

Рис. Покрытие функции у =:

а) неминимальное; б), в) минимальное.

Отображение функции на n -мерном наглядно и просто при n 3. Четырехмерный куб можно изобразить, как показано на рис., где отображены функции четырех переменных и ее минимальное покрытие, соответствующее выражению у =

Использование этого метода при n >4 требует настолько сложных построений, что теряет все его преимущества.

Интегрирование дробно-рациональной функции.
Метод неопределенных коэффициентов

Продолжаем заниматься интегрированием дробей. Интегралы от некоторых видов дробей мы уже рассмотрели на уроке , и этот урок в некотором смысле можно считать продолжением. Для успешного понимания материала необходимы базовые навыки интегрирования, поэтому если Вы только приступили к изучению интегралов, то есть, являетесь чайником, то необходимо начать со статьи Неопределенный интеграл. Примеры решений .

Как ни странно, сейчас мы будем заниматься не столько нахождением интегралов, сколько… решением систем линейных уравнений. В этой связи настоятельно рекомендую посетить урок А именно – нужно хорошо ориентироваться в методах подстановки («школьном» методе и методе почленного сложения (вычитания) уравнений системы).

Что такое дробно-рациональная функция? Простыми словами, дробно-рациональная функция – это дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены либо произведения многочленов. При этом дроби являются более навороченными, нежели те, о которых шла речь в статье Интегрирование некоторых дробей .

Интегрирование правильной дробно-рациональной функции

Сразу пример и типовой алгоритм решения интеграла от дробно-рациональной функции.

Пример 1

Шаг 1. Первое, что мы ВСЕГДА делаем при решении интеграла от дробно-рациональной функции – это выясняем следующий вопрос: является ли дробь правильной? Данный шаг выполняется устно, и сейчас я объясню как:

Сначала смотрим на числитель и выясняем старшую степень многочлена:

Старшая степень числителя равна двум.

Теперь смотрим на знаменатель и выясняем старшую степень знаменателя. Напрашивающийся путь – это раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, но можно поступить проще, в каждой скобке находим старшую степень

и мысленно умножаем: – таким образом, старшая степень знаменателя равна трём. Совершенно очевидно, что если реально раскрыть скобки, то мы не получим степени, больше трёх.

Вывод : Старшая степень числителя СТРОГО меньше старшей степени знаменателя, значит, дробь является правильной.

Если бы в данном примере в числителе находился многочлен 3, 4, 5 и т.д. степени, то дробь была бы неправильной .

Сейчас мы будем рассматривать только правильные дробно-рациональные функции . Случай, когда степень числителя больше либо равна степени знаменателя, разберём в конце урока.

Шаг 2. Разложим знаменатель на множители. Смотрим на наш знаменатель:

Вообще говоря, здесь уже произведение множителей, но, тем не менее, задаемся вопросом: нельзя ли что-нибудь разложить еще? Объектом пыток, несомненно, выступит квадратный трехчлен. Решаем квадратное уравнение:

Дискриминант больше нуля, значит, трехчлен действительно раскладывается на множители:

Общее правило: ВСЁ, что в знаменателе МОЖНО разложить на множители – раскладываем на множители

Начинаем оформлять решение:

Шаг 3. Методом неопределенных коэффициентов раскладываем подынтегральную функцию в сумму простых (элементарных) дробей. Сейчас будет понятнее.

Смотрим на нашу подынтегральную функцию:

И, знаете, как-то проскакивает интуитивная мысль, что неплохо бы нашу большую дробь превратить в несколько маленьких. Например, вот так:

Возникает вопрос, а можно ли вообще так сделать? Вздохнем с облегчением, соответствующая теорема математического анализа утверждает – МОЖНО. Такое разложение существует и единственно .

Только есть одна загвоздочка, коэффициенты мы пока не знаем, отсюда и название – метод неопределенных коэффициентов.

Как вы догадались, последующие телодвижения так, не гоготать! будут направлены на то, чтобы как раз их УЗНАТЬ – выяснить, чему же равны .

Будьте внимательны, подробно объясняю один раз!

Итак, начинаем плясать от:

В левой части приводим выражение к общему знаменателю:

Теперь благополучно избавляемся от знаменателей (т.к. они одинаковы):

В левой части раскрываем скобки, неизвестные коэффициенты при этом пока не трогаем:

Заодно повторяем школьное правило умножения многочленов. В свою бытность учителем, я научился выговаривать это правило с каменным лицом: Для того чтобы умножить многочлен на многочлен нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена .

С точки зрения понятного объяснения коэффициенты лучше внести в скобки (хотя лично я никогда этого не делаю в целях экономии времени):

Составляем систему линейных уравнений.
Сначала разыскиваем старшие степени:

И записываем соответствующие коэффициенты в первое уравнение системы:

Хорошо запомните следующий нюанс . Что было бы, если б в правой части вообще не было ? Скажем, красовалось бы просто без всякого квадрата? В этом случае в уравнении системы нужно было бы поставить справа ноль: . Почему ноль? А потому что в правой части всегда можно приписать этот самый квадрат с нулём: Если в правой части отсутствуют какие-нибудь переменные или (и) свободный член, то в правых частях соответствующих уравнений системы ставим нули .

Записываем соответствующие коэффициенты во второе уравнение системы:

И, наконец, минералка, подбираем свободные члены.

Эх,…что-то я расшутился. Шутки прочь – математика наука серьезная. У нас в институтской группе никто не смеялся, когда доцент сказала, что разбросает члены по числовой прямой и выберет из них самые большие. Настраиваемся на серьезный лад. Хотя… кто доживет до конца этого урока, все равно будет тихо улыбаться.

Система готова:

Решаем систему:

(1) Из первого уравнения выражаем и подставляем его во 2-е и 3-е уравнения системы. На самом деле можно было выразить (или другую букву) из другого уравнения, но в данном случае выгодно выразить именно из 1-го уравнения, поскольку там самые маленькие коэффициенты .

(2) Приводим подобные слагаемые во 2-м и 3-м уравнениях.

(3) Почленно складываем 2-е и 3-е уравнение, при этом, получая равенство , из которого следует, что

(4) Подставляем во второе (или третье) уравнение, откуда находим, что

(5) Подставляем и в первое уравнение, получая .

Если возникли трудности с методами решения системы отработайте их на уроке Как решить систему линейных уравнений?

После решения системы всегда полезно сделать проверку – подставить найденные значения в каждое уравнение системы, в результате всё должно «сойтись».

Почти приехали. Коэффициенты найдены, при этом:

Чистовое оформление задание должно выглядеть примерно так:

Как видите, основная трудность задания состояла в том, чтобы составить (правильно!) и решить (правильно!) систему линейных уравнений. А на завершающем этапе всё не так сложно: используем свойства линейности неопределенного интеграла и интегрируем. Обращаю внимание, что под каждым из трёх интегралов у нас «халявная» сложная функция, об особенностях ее интегрирования я рассказал на уроке Метод замены переменной в неопределенном интеграле .

Проверка: Дифференцируем ответ:

Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно.
В ходе проверки пришлось приводить выражение к общему знаменателю, и это не случайно. Метод неопределенных коэффициентов и приведение выражения к общему знаменателю – это взаимно обратные действия .

Пример 2

Найти неопределенный интеграл.

Вернемся к дроби из первого примера: . Нетрудно заметить, что в знаменателе все множители РАЗНЫЕ. Возникает вопрос, а что делать, если дана, например, такая дробь: ? Здесь в знаменателе у нас степени, или, по-математически кратные множители . Кроме того, есть неразложимый на множители квадратный трехчлен (легко убедиться, что дискриминант уравнения отрицателен, поэтому на множители трехчлен никак не разложить). Что делать? Разложение в сумму элементарных дробей будет выглядеть наподобие с неизвестными коэффициентами вверху или как-то по-другому?

Пример 3

Представить функцию

Шаг 1. Проверяем, правильная ли у нас дробь
Старшая степень числителя: 2
Старшая степень знаменателя: 8
, значит, дробь является правильной.

Шаг 2. Можно ли что-нибудь разложить в знаменателе на множители? Очевидно, что нет, всё уже разложено. Квадратный трехчлен не раскладывается в произведение по указанным выше причинам. Гуд. Работы меньше.

Шаг 3. Представим дробно-рациональную функцию в виде суммы элементарных дробей.
В данном случае, разложение имеет следующий вид:

Смотрим на наш знаменатель:
При разложении дробно-рациональной функции в сумму элементарных дробей можно выделить три принципиальных момента:

1) Если в знаменателе находится «одинокий» множитель в первой степени (в нашем случае ), то вверху ставим неопределенный коэффициент (в нашем случае ). Примеры №1,2 состояли только из таких «одиноких» множителей.

2) Если в знаменателе есть кратный множитель , то раскладывать нужно так:
– то есть последовательно перебрать все степени «икса» от первой до энной степени. В нашем примере два кратных множителя: и , еще раз взгляните на приведенное мной разложение и убедитесь, что они разложены именно по этому правилу.

3) Если в знаменателе находится неразложимый многочлен второй степени (в нашем случае ), то при разложении в числителе нужно записать линейную функцию с неопределенными коэффициентами (в нашем случае с неопределенными коэффициентами и ).

На самом деле, есть еще 4-й случай, но о нём я умолчу, поскольку на практике он встречается крайне редко.

Пример 4

Представить функцию в виде суммы элементарных дробей с неизвестными коэффициентами.

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
Строго следуйте алгоритму!

Если Вы разобрались, по каким принципам нужно раскладывать дробно-рациональную функцию в сумму, то сможете разгрызть практически любой интеграл рассматриваемого типа.

Пример 5

Найти неопределенный интеграл.

Шаг 1. Очевидно, что дробь является правильной:

Шаг 2. Можно ли что-нибудь разложить в знаменателе на множители? Можно. Здесь сумма кубов . Раскладываем знаменатель на множители, используя формулу сокращенного умножения

Шаг 3. Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:

Обратите внимание, что многочлен неразложим на множители (проверьте, что дискриминант отрицательный), поэтому вверху мы ставим линейную функцию с неизвестными коэффициентами, а не просто одну буковку.

Приводим дробь к общему знаменателю:

Составим и решим систему:

(1) Из первого уравнения выражаем и подставляем во второе уравнение системы (это наиболее рациональный способ).

(2) Приводим подобные слагаемые во втором уравнении.

(3) Почленно складываем второе и третье уравнения системы.

Все дальнейшие расчеты, в принципе, устные, так как система несложная.

(1) Записываем сумму дробей в соответствии с найденными коэффициентами .

(2) Используем свойства линейности неопределенного интеграла. Что произошло во втором интеграле? С этим методом Вы можете ознакомиться в последнем параграфе урока Интегрирование некоторых дробей .

(3) Еще раз используем свойства линейности. В третьем интеграле начинаем выделять полный квадрат (предпоследний параграф урока Интегрирование некоторых дробей ).

(4) Берём второй интеграл, в третьем – выделяем полный квадрат.

(5) Берём третий интеграл. Готово.