Решение уравнения теплопроводности цилиндрические координаты. Уравнения теплопроводности в системах координат

Страница 4

. (2.24)

Уравнение (2.24) называется дифференциальным уравнением теплопроводности (или дифференциальным уравнением Фурье) для трехмерного нестационарного температурного поля при отсутствии внутренних источников теплоты. Оно является основным при изучении вопросов нагревания и охлаждения тел в процессе передачи теплоты теплопроводностью и устанавливает связь между временным и пространственным изменениям температуры в любой точке поля. Отоларингология лазер применение лазеров.

Температуропроводность является физическим параметром вещества и имеет единицу м2/c. В нестационарных тепловых процессах a характеризует скорость изменения температуры.

Из уравнения (2.24) следует, что изменение температуры во времени для любой точки тела пропорционально величине a. Поэтому при одинаковых условиях быстрее увеличивается температура у того тела, которое имеет большую температуропроводность.

Дифференциальное уравнение теплопроводности с источником теплоты внутри тела имеет вид:

, (2.25)

где qV - удельная мощность источника, то есть количество выделяемой теплоты в единице объёма вещества в единицу времени.

Это уравнение записано в декартовых координатах. В других координатах оператор Лапласа имеет иной вид, поэтому меняется и вид уравнения. Например, в цилиндрических координатах дифференциальное уравнение теплопроводности с внутренним источником теплоты таково:

, (2.26)

где r - радиус-вектор в цилиндрической системе координат;

Полярный угол.

2.5 Краевые условия

Полученное дифференциальное уравнение Фурье описывает явления передачи теплоты теплопроводностью в самом общем виде. Для того чтобы применить его к конкретному случаю, необходимо знать распределение температур в теле или начальные условия. Кроме того, должны быть известны:

· геометрическая форма и размеры тела,

· физические параметры среды и тела,

· граничные условия, характеризующие распределение температур на поверхности тела, или взаимодействие изучаемого тела с окружающей средой.

Все эти частные особенности совместно с дифференциальным уравнением дают полное описание конкретного процесса теплопроводности и называются условиями однозначности или краевыми условиями.

Обычно начальные условия распределения температуры задаются для момента времени t = 0.

Граничные условия могут быть заданы тремя способами.

Граничное условие первого рода задается распределением температуры на поверхности тела для любого момента времени.

Граничное условие второго рода задается поверхностной плотностью теплового потока в каждой точке поверхности тела для любого момента времени.

Граничное условие третьего рода задается температурой среды, окружающей тело, и законом теплоотдачи между поверхность тела и окружающей средой.

Решение дифференциального уравнения теплопроводности при заданных условиях однозначности позволяет определить температурное поле во всем объеме тела для любого момента времени или найти функцию .

2.6 Теплопроводность через шаровую стенку

С учётом описанной в разделах 2.1 - 2.5 терминологии задачу данной курсовой работы можно сформулировать так. Постоянный тепловой поток направлен через шаровую стенку, причем источником теплоты является внутренняя сфера радиусом R1. Мощность источника P постоянна. Среда между граничными сферами изотропна, поэтому её теплопроводность c является функцией одной переменной - расстояния от центра сфер (радиуса) r. По условию задачи . Вследствие этого температура среды тоже является в данном случае функцией одной переменной - радиуса r: T = T(r), а изотермические поверхности это концентрические сферы. Таким образом искомое температурное поле - стационарное и одномерное, а граничные условия являются условиями первого рода: T(R1) = T1, T(R2) = T2.

Из одномерности температурного поля следует, что плотность теплового потока j так же, как теплопроводность и температура, являются в данном случае функциями одной переменной - радиуса r. Неизвестные функции j(r) и T(r) можно определить одним из двух способов: или решать дифференциальное уравнение Фурье (2.25), или использовать закон Фурье (2.11). В данной работе избран второй способ. Закон Фурье для исследуемого одномерного сферически симметричного температурного поля имеет вид:1 4

Изучение любого физического процесса связано с установле­нием зависимости между величинами, характеризующими данный процесс. Для сложных процессов, к которым относится передача тепла теплопроводностью, при установлении зависимости между величинами удобно воспользоваться методами математической фи­зики, которая рассматривает протекание процесса не во всем изу­чаемом пространстве, а в элементарном объеме вещества в течение бесконечно малого отрезка времени . Связь между величинами, участ­вующими в передаче тепла теплопроводностью, устанавливается в этом случае так называемым дифференциальным уравнением теп­лопроводности . В пределах выбранного элементарного объема и бес­конечно малого отрезка времени становится возможным пренебречь изменением некоторых величии, характеризующих процесс.

При выводе дифференциального уравнения теплопроводности принимаются следующие допущения: физические величины λ, с р и ρ постоянны; внутренние источники тепла отсутствуют; тело одно­родно и изотропно; используется закон сохранения энергии, ко­торый для данного случая формулируется следующим образом: разность между количеством тепла, вошедшим вследствие тепло­проводности в элементарный параллелепипед за время dτ и вышед­шим из него за то же время, расходуется на изменение внутренней энергии рассматриваемого элементарного объема. В результате приходим к уравнению:

Величину называют оператором Лапласа и обычно обозначают сокращенно 2 t (знак читается «набла»); величину λ /cρ называют коэффициентом температуропроводности и обозначают буквой а. При указанных обозначениях дифференциальное уравнение теплопроводности принимает вид

Уравнение (1-10) называется дифференциальным уравнением теплопроводности, или уравнением Фурье, для трехмерного нестационарного температурного поля при отсутствии внутренних источников тепла. Оно является основным уравнением при изучении вопросов нагревания и охлаждения тел в процессе передачи теплоты тепло­проводностью и устанавливает связь между временным и пространст­венным изменениями температуры в любой точке поля.

Коэффициент температуропроводности а = λ/cρ является физическим параметром вещества и имеет единицу измерения м 2 /c. В нестационарных тепловых процессах величина а характеризует скорость изменения температуры. Если коэффициент теплопроводностихарактеризует способность тел проводить теплоту, то коэффициент температуропроводности а есть мера теплоинерционных свойств тел. Из уравнения (1-10) следует, что изменение температуры во времени ∂t / ∂τ для любой точки тела пропорционально величине а .Поэтому, при одинаковых условиях быстрее увеличится температура у того тела, которое имеет больший коэффициент температуропроводности. Газы имеют малые, а металлы – большие значения коэффициента температуропроводности.

Дифференциальное уравнение теплопроводности с источниками теплоты внутри тела будет иметь вид

где q v - количество выделяемой теплоты в единице объема веще­ства в единицу времени, с - массовая теплоемкость тела, ρ - плотность тела.

Дифференциальное уравнение теплопроводности в цилиндричес­ких координатах с внутренним источником теплоты будет иметь вид

где r - радиус-вектор в цилиндрической системе координат; φ - угол.

z
x
ЛЕКЦИЯ 4
Задачи теплопроводности в различных системах координат.
Декартова система координат
T
T
T
q
i
j
k
T T x, y , z , t
y
x
x
y
T
T T T
c
qV
t x x y y z z
c
T T
qV
t x x
(1)
(2)
(3)
В практике часто встречаются такие условия, которые приводят к необходимости записи уравнения
теплопроводности в иной форме, более удобной для представления решения и его физической
трактовки.
Зависимость вида уравнения
от используемой системы
координат можно исключить,
используя операторную запись
1 T
q
T V
a t
2
x
2
2
y
2
2
z 2
a c
T
c
div gradT qV
t
или
c
T
T qV
t
(4)
Слагаемые, выражающие тепловыделение и аккумулирование энергии, инвариантны относительно
системы координат (т.е., неизменны); но слагаемые, выражающие результирующий кондуктивный
тепловой поток, зависят от геометрии и, следовательно, от системы координат.

Цилиндрическая система координат
z
c
dr
r
dz
r , z
z
x
T
div q q
t
q T
x r cos
y
r , z
(5)
y r sin
(6)
1 1 2
2
r 2 2 2
r r r r
z
d
y
dr
d
dy
dx
z
qr
(7)
1 T 1 T 1 2T 2T qV
r 2 2 2
a t r r r r
z
x
1 T 1 T
r
qV
a t r r r
T
1 T
T
; q
; qz
r
r
z
a
(9)
T Ts
c
(8)

r ,
Сферическая система координат
z
dr
r ,
r
d
x
1 T
div q q
a t
q T
y
1 2
1
1
2
2 r
2
sin
2
r sin 2
r r r r sin
T
1 T
1 T
; q
; q
r
r
r sin
(10)
1 T 1 2 T
1
T
1
2T qV
2 r
2
sin 2
2
a t r r r r sin
r sin
(11)
d
qr
1 T 1 2 T qV
2 r
a t r r r
x r sin cos
y r sin sin
z
(12)
z r cos
y
x

Уравнения теплопроводности для тел канонической формы
Запись уравнений в различных системах координат особенно удобна,
когда нужно найти распределение температуры в телах канонической
формы – в цилиндре или шаре. В этих случаях уравнения существенно
упрощаются при задании особых условий, когда поле температуры
зависит только от одной координаты.
параллелепипед
пластина
цилиндр
сфера
c
T T T T
qV
t x x y y z z
1 T 2T qV
2
a t x
qe
1 T 1 T qV
r
a t r r r
1 T 1 2 T qV
r
2
a t r r r
T Ts
z
y
x

1 T 1 n T qV
r
n
a t r r r
Три последних
уравнения вместе:
n 0
n 2
n 1 цилиндр
плоскость
T T0
T* T0
t
t*
(13)
сфера
r
r*
1 1 n
qV
n
Fo
На доске
Число Фурье
at*
Fo 2
r*
qV 1:
at*
at
1: 2
2
r*
r*
(14)
qV r*2
qV
T* T0
q
T* T0 V r*2
1 n
1
n
Fo

Стационарные задачи теплопроводности в различных системах координат
Цилиндрическая стенка: стационарный процесс теплопроводности в
цилиндрической стенке (трубе) с внутренним радиусом r1;
d 1 2r1
r1
1 T 1 T 1 2T 2T qV
r
a t r r r r 2 2 z 2
r2
Te1
2
1
T1
d1
T2
Te 2
dT
u
dr
du 1
u 0
dr r
T C1 ln r C2
q
d2
(17)
dT
C
1 (18)
dr
r
d 2T
1 dT
0
2 r dr
dr
(15)
ln u ln r ln C1
(16)
Удельный тепловой поток не
постоянен по толщине и убывает по
направлению к внешней поверхности
В стационарных условиях постоянным должен быть полный тепловой поток проходящий через
участок цилиндрической трубы длиной l и равный
Q q F q 2 rl
Удельный тепловой поток
убывает с радиусом
!!!
(19)
Площадь поверхности
увеличивается с радиусом
Температура по толщине трубы изменяется нелинейно даже при постоянном
коэффициенте теплопроводности
Постоянные интегрирования могут быть найдены из граничных условий.

r r1: T T1; r r2: T T2
T1 C1 ln r1 C2 ,
Система линейных
уравнений
T2 C1 ln r2 C2 ,
T ln r2 r T2 ln r r1
T 1
;
ln r2 r1
q
Q
Погонный тепловой поток
qп
(20)
dT
C
1
dr
r
dT
T
l 2 r
2 l ,
dr
ln r2 r1
Вт
Q
2
T , T T1 T2
l ln r2 r1
(21)
(22)

(температуры стенок – неизвестны)
T C1 ln r C2
Можем поступить аналогично:
r r1:
Поступим иначе:
(23)
T
T
1e T Te1 ; r r2:
2e Te2 T
r
r
Конвективный тепловой поток на единицу длины
трубы должен равняться погонному тепловому потоку
вследствие теплопроводности:
qп 1e Te1 T1 2 r1
2
T1 T2
qп
ln r2 r1
qп Kc Te1 Te2
1
Kc
, Вт/(М·К)
1
1 r
1
ln 2
2 1e r1 2 r1 2 2e r2
qп 2e T2 Te2 2 r2
Коэффициент теплопередачи для
цилиндрической стенки
Rc
1
1
1 r
1
ln 2
Kc 2 1er1 2 r1 2 2er2
плоская стенка
R
1 L 1
1 2
1 L 1
K
1
2
1
Вт/(М2·К)
Из системы уравнений (23) мы можем найти
и температуры стенок и подставить в (20)
Полное термическое
сопротивление трубы
(24)
(25)
(26)
Размерность
отличается от
размерности К для
плоской стенки!
T ln r2 r T2 ln r r1
T 1
;
ln r2 r1
Можно
на доске

В безразмерных переменных
r1
d 2
d
r2
2
1 d
0
d
(27)
d
Bi
d
(28)
r1 r2:
Te1
2
1
d1
d2
Задание
на дом:
1:
T Te 2
r
; r* r2
Te1 Te 2
r2
d
Bi 1
d
(29)
2er2 1e
Bi
2e
C1 ln C2
Te 2
C1
Bi C1 ln C2
C1 Bi C2 1
(30)
А) Перейти аккуратно к безразмерным переменным
Б) Найти постоянные интегрирования из системы (30)
В) Построить для разных значений параметров

10.

Принципы
последовательного
и
параллельного
соединений термических сопротивлений в цепь,
справедливые для плоской стенки в прямоугольной
системе координат, можно применить и для задачи о
теплопроводности в полом цилиндре.
Электрическая аналогия
2
Q
1
Q
T0
r3
r2
r1
T1
T2
Ts
RT
ln r2 r1
2 l
Жидкость течет в трубе, R 1 1
0
F 2 r1l
покрытой изоляционным
материалом
dT
T
l 2 r
2 l,
dr
ln r2 r1
T
Q
,
ln r2 r1 2 l
В форме
закона Ома
Термическое сопротивление
полого цилиндра
Конвективное термическое
сопротивление жидкости
Имеем последовательное соединение конвективного сопротивления жидкости с двумя
кондуктивными термическими сопротивлениями. Если задана температура жидкости и температура
внешней поверхности:
T0 Ts
T
Q
А)
R
full
r
r
1
1
1
ln 2
ln 3
2 1r1l 2 l 1 r1 2 l 2 r2
(31)
Сопротивление
изоляции
Если заданы температуры внутренней и внешней поверхностей
Б)
T
Q
R full
T1 Ts
r
r
1
1
ln 2
ln 3
2 l 1 r1 2 l 2 r2
(32)

11.

Пример
1 185
В алюминиевой трубе, имеющей теплопроводность
Вт/(м К), течет водяной пар
◦
при температуре 110 С. Внутренний диаметр трубы – 10 см, наружный диаметр – 12
Te
см. Труба расположена в помещении с температурой
30◦С; коэффициент
e
конвективной теплоотдачи от трубы
к воздуху
равен 15 Вт/(м2К). 1) Требуется
найти тепловой поток на единицу длины трубы, если труба не теплоизолирована.
2)Чтобы снизить тепловые потери от трубы, она была покрыта слоем теплоизоляции
(2 0 ,2 Вт/(м К)) толщиной 5 см. Найти тепловой поток на единицу длины от
тепоизолированной трубы. Предположить, что конвективное термическое
сопротивление пара пренебрежимо мало.
Решение. Для трубы без теплоизоляции наиболее существенными являются
кондуктивное термическое сопротивление самой трубы и конвективное термическое
сопротивление комнатного воздуха. Поскольку конвективным термическим
сопротивлением пара можно пренебречь, температура внутренней поверхности
трубы равна температуре пара. Тепловой поток на единицу длины трубы следует из
соотношения T T
110 30
80
q
0
e
ln r2 r1
1
2 1
2 r2 e
ln 6 5
1
2 185 2 0 ,06 15
1,57 10
4
0 ,177
452 Вт/м.
Для трубы с теплоизоляцией нужно добавить термическое сопротивление
теплоизоляции, и соотношение для теплового потока примет вид
q
T0 Te
80
138
ln r3 r2 1,57 10 4 0 ,096 0 ,482
ln r2 r1
1
2 1
2 r3 e
2 2
Вт/м.

12.

Многослойная цилиндрическая стенка
qc
Tn T1 1
n
d
1
ln i 1
2 i
di
, d i 2r1
qc
i 1
Остается справедливым понятие
эквивалентного коэффициента
теплопроводности
экв
ln d n 1 d1
n
i 1
T1
T2
1
(33)
T3
2
(34)
1 d i 1
ln
i di
r1 d1 2
... ...
Tn 1
n 1
Tn
n
Tn 1
r2 d2 2
Температура Ti 1
Ti 1 Ti
2 экв T1 Tn 1
ln d n 1 d1
на границе между i-м и i+1-слоями
qc 1 d 2 1 d3
1 d
ln ln ... ln i 1
2 1 d1 2 d 2
i
di
(35)
Коэффициент теплопередачи:
Kc
1
1
1d1
n
i 1
1 di 1
1
ln
2 i di 2 d 2
(36)

13.

r1
Радиальный тепловой поток в трубе обратно пропорционален логарифму
наружного радиуса (возрастает сопротивление радиальной проводимости);
r2
Рассеяние тепла от наружной поверхности прямо пропорционально этому
радиусу (увеличивается площадь охлаждающей поверхности)
qc K c Te1 Te 2
Kc
1
,
1
1 r2
1
ln
2 1r1 2 r1 2 2 r2
Следовательно, существует определенный радиус, при
котором потери тепла максимальны!
Если при фиксированном (малом) внутреннем радиусе увеличивать
толщину стенки трубы (т.е., увеличивать внешний радиус r2), то действие
логарифма в формуле для термического сопротивления окажется более
сильным, чем при большем внутреннем радиусе

14.

Критический диаметр теплоизоляции
qc Kc Te1 Te2
Kc
1
,
1
1 r2
1
ln
2 1r1 2 r1 2 2 r2
dqc
0
dr2
Условие экстремума:
дает
r2 * 1
2
Критический радиус
Частный случай нулевого внутреннего сопротивления, 1 1 0
y
q
2 Te1 Te 2
1
r
, x 2,
ln x x
r1
2r1
(38)
0 Внешнее сопротивление также равно нулю
r1 r2
Толщина стенки равна 0
1: x 2r2
Для заданного внутреннего радиуса величина критического
внешнего радиуса увеличивается, если увеличивается
теплопроводность трубы или если понижается коэффициент
теплоотдачи на внешней поверхности
(37)
Bi 1

15.

изоляция
Существование критического наружного радиуса приводит к тому, что при
некоторых реальных условиях, вопреки привычным представлениям,
потеря тепла изолированной трубой фактически может быть снижена
путем уменьшения толщины изоляции
d1
d2
Полное термическое сопротивление для двухслойной трубы, сечение которой
изображено на рисунке, определяется по формуле
d3
Rc
1 2
труба
Условие
экстремума:
d2 d3 *
d3 d 2
(39)
- толщина изоляции
Термическое сопротивление теплопроводности изоляции (I) растет с увеличением
толщины изоляционного покрытия; термическое сопротивление теплоотдачи изоляции
(II) – падает (так как увеличивается поверхность теплоотдачи)
dRc
1
1
0
dd3 2 2 d3 2 d 32
Rc
d2 d3 *
1
1
1 d2
1 d3
1
ln
ln
K c 1d1 2 1 d1 2 2 d 2 2 d3
II
(I)
d 3 *
22
8 32
0
d3 * 2 2
2
не зависит от
d2
(40)
(т.е., не зависит от диаметра самого трубопровода)
В критической точке полное термическое
сопротивление – минимально!
увеличение толщины изоляции уменьшает теплоотдачу
нанесение выбранного покрытия первоначально приведет к возрастанию
теплоотдачи, и лишь при достижении критического диаметра тепловой поток будет
убывать; затем достигнет той величины, которая была без изоляции и лишь потом
приведет к желаемому эффекту

16.

Задача для полого шара
(шаровая стенка)
d 2T
dr
2
2 dT
0
r dr
(41)
Рассматриваем пространственно одномерную стационарную
задачу теплопроводности в шаровой стенке с заданными
радиусами внутренней и внешней поверхностей. Одномерность
задачи означает, что распределение температуры в стенке
зависит только от радиуса
С помощью замены
переменных
r1
dT
u
dr
du
2u
Общее решение
dr
r
C
C
dT C1
ln u 2 ln r ln C1; u 21 ; T r 1 C2 ;
2
r
dr r
r
r2
Граничные условия первого рода
r r1: T T1
C1
C2
r1
T 1 r 1 r2 T2 1 r1 1 r
T r 1
1 r1 1 r2
r r2: T T2
(42)
Плотность потока тепла
Полный тепловой поток
Q
T1
T2
C1
C2
r2
(43)
(44)
dT
r2
T1 T2
q
2 C1
dr
1 r1 1 r2
r
(45)
dT
4
T1 T2
4 r 2 4 C1
dr
1 r1 1 r2
(46)

17.

Граничные условия третьего рода
T r
Общее решение
не изменяется
C1
C2
r
T
r r1: -
1 T Te1
r
T
r r2: -
2 Te2 T
r
(47)
2r2 C1 2r22C2 2r22Te2
C1
1r1
1r12
2 r22
2 r2
r1
r2
1r1 C1 1r12C2 1r12Te1
1r12 Te 2 Te1
dT C1
2
dr r
C2
(48)
Полный тепловой поток Q не
зависит от текущего радиуса
1r1 T 1r12 T
2 r2 e 2 2 r22 e1
1r1 1r12
2 r2 2 r22
(49)
В пределе при идеальном теплообмене сред с заданными температурами и
шаровой стенки (т.е., при бесконечных коэффициентах теплоотдачи) решение задачи с
граничными условиями третьего рода переходит в решение задачи с граничными
условиями первого рода.
4
Q
T T
1 1 1 2
r1 r 2
=
тепловому потоку,
4 r1 2 1 Te1 T
приходящему к
внутренней стенке
=
тепловому потоку,
4 r 2 2 2 T Te 2
покидающему
внешнюю стенку

18.

Распределение температуры в шаровой стенке
для граничных условий третьего рода
Дома:
воспроизвести все
решение
1 1
1 1
T1 T 2
r r
r1 r
2
T r
1 1
r1 r 2
Температуры стенок:
T1
r12 1Te1 s Te 2
2 Te1
r2 2
r12 1
s 1 2 r12 1
r
2 2
r12 1
r12 1
s Te 2 2 Te1
r2 2
2
r1 1 2
s 1 2 r1 1
r
2 2
r12 1Te 2
T2
Проводимость шаровой стенки:
s
1 1
r1 r 2
r1r 2
r 2 r1

19.

Решения простейших задач в безразмерной форме
Соберем решения стационарных задач для тел канонической формы с
граничными условиями первого рода вместе
T p T1 T1 T 2
r
r2
Дома: воспроизвести!
Tc
1 1
1 1
T1 T 2
r r
r1 r
2
Ts
1 1
r1 r 2
T1 ln r 2 r T 2 ln r r1
l n r 2 r1
T T2
T1 T 2
r
r2
0,8
p 1
ln
ln
1 1
1
1
1 1
c
p
0 1
0,6
r2
1
r1
2
0,2
0,0
0,0
В плоской стенке качественное распределение
температуры (линейное) не зависит от ее
толщины. А вот в цилиндрической и шаровой –
нелинейно меняется с радиусом;
характер
распределения (кривизна кривой) зависит от
соотношения внешнего и внутреннего радиусов.
1
3
0,4
0,2
0,4
0,6
0,8
Распределение температуры в плоской
(1), цилиндрической (2) и шаровой (3)
стенке. Сплошные линии
;
10
пунктирные линии - . 5

20.

В случае граничных условий третьего рода решения простейших задач
зависят от параметров, характеризующих теплообмен.
Для одинаковых коэффициентов теплоотдачи.
T Te 2
Te1 Te 2
r
r2
1 2
0,8
для пластины
1
p 1 1 2
1 1
2 Bi
2
1
2 Bi
для цилиндра:
0,6
3
0,4
3
1
2
0,2
1 2 ln 2 ln
ln
1 1
2
1 Bi ln
1 Bi ln
c
для сферы:
s
1
1 1 1 2
1
1 Bi 1
1 1 Bi
2
Bi
r1
1
1 1 Bi
0,0
0,2
0,4
0,6
1
0,8
2
Распределение температуры
вдоль координаты в плоской (1),
цилиндрической (2) и сферической
(3) стенках в условиях
конвективного теплообмена.
Сплошные линии - Bi 2 ;
пунктирные - Bi 1 0

21.

Примеры: сосуд Дьюара (Dewar bottle)
Частица металла, покрытая пленкой окисла
Задание на дом:
1.Сформулировать задачу о распределении температуры в двухслойной
шаровой оболочке при ее конвективном охлаждении, пользуясь материалом
лекции. Тепловой контакт между слоями считать идеальным. Привести
задачу к безразмерной форме. Построить точное аналитическое решение
этой задачи.
2.*Рассчитать температуры внутренней и внешней поверхностей шаровой
оболочки в задаче 1, а также температуру на контакте; определить полный
тепловой поток, уходящий с поверхности шара, принимая, что температуры
среды внутри оболочки – 175 С, температура окружающей среды – 25 С;
коэффициенты теплоотдачи одинаковы и равны – 28,8 ккал/(м2·час·град);
внутренний, и внешний радиусы оболочки – 3 см и 5 см, толщина
внутренней оболочки – 25 мм. Внутренняя оболочка изготовлена из
материала с теплопроводностью 1,45 ккал/(м час град); внешняя из
материала с коэффициентом теплопроводности 0,137 ккал/(м·час·град). Как
будет изменяться тепловой поток при изменении толщины внешней
оболочки в пределах от 25 мм до 300 мм?

22.

d 2T
Te 2
2
T1
Te1
T2
1
xmax
qV
0;
2
dx
Г.у. первого рода: r r1:
qV const
T T1;
(1)
r r2:
T T2 (2)
Г.у. третьего рода:
r r1:
-
T
1 T Te1 ;
r
r r2:
-
T
2 Te2 T
r
Первый «способ» решения:
Решается задача элементарным интегрированием:
qV x 2
T x
C1x C2
2
dT
q
V x C1;
dx
(4)
Подставляя общее решение в г.у., найдем постоянные интегрирования.
Максимум находится на некотором расстоянии от поверхностей.
Положение максимума можно найти из условия (условие экстремума)
dT
q x
V C1 0
dx
(5)
dT
0
dx
(3)

23.

Задачи с внутренними источниками тепла
ТЕПЛОПРОВОДЯЩАЯ ПЛОСКАЯ СТЕНКА С ОБЪЕМНЫМ ТЕПЛОВЫДЕЛЕНИЕМ
Te 2
2
T1
Te1
1
2
1
Поступим немного иначе. (Второй «способ»
решения)
qV x 2
T x
C1x C2
общее
решение
2
(4)
Поместим начало координат в точку, где
температура максимальна
T2
1; 2
- расстояния от максимума до краев пластины
0
C1 0
Граничное условие справа перепишем следующим образом:
x 2:
dT
dx
2
2 T Te 2
2
2
q
V
2
2 C2
Te 2 qV 2
2
(6)
Так как плоскость x=0 можно считать теплоизолированной, все тепло, выделившееся в
пластине справа в единицу времени, должно быть отведено в окружающую среду
посредством теплоотдачи с правой стенки. В противном случае будет нарушено условие
стационарности
qV 2 - количество тепла, выделяющееся в объеме пластины толщиной =1 в единицу времени
Слева – выражение для потока теплоотдачи с единицы площади поверхности пластины

24.

Аналогичные рассуждения для левого слоя пластины толщиной
1 2
приводят к выражению
2
q
V
2
1 C2
Te1 qV 2
2
(7)
С помощью равенств (6), (7) находим положение
максимума
2
2 1 2 Te1 Te 2 qV 2 1 2
2qV 1 2 1 2
(8)
Определяя постоянную С2, (подходит любое из равенств) , находим общее решение.
Наиболее простой вид оно принимает, если
1 2 ;Te1 Te2 Te
1 2 2
тогда
qV qV 2
C2
Te
2
8
и
2
q
qV
2
T x
x V Te
2 2
2
(9)
(10)
qV 2 qV
Тем ниже, чем выше теплопроводность пластины
Tmax T x 0
Te
8
2
q
Температура стенки Ts T1 T2 V Te растет с ухудшением теплоотдачи
2

25.

Граничные условия первого рода
T1
2
1
T2
0
qV 22
C2 T2
2
dT
dx
2 T1 T2
2 1
2
qV 2
(11)
qV 2 2
C2 T1
2
2
qV 2 T1 T2
2
T x T2
x
1
2
2 2
qV
При очень больших значениях
x 2:
qV x 2
T x
C1x C , C1 0 (4)
2
2
Граничные условия третьего рода переходят в граничные
условия первого рода. Поэтому такое же решение мы
получим, используя предыдущее решение
2 T Te 2
2
(12)
T x T2 T2e
2
(13)
Следовательно, из симметричной задачи с граничными условиями третьего рода (10) находим
2
qV
2
T x
x Ts
2 2
Tmax T x 0
q
V Ts
8
2
Температура
стенок
(14)
Это же равенство следует из предыдущего решения при условии равенства температур стенок

26.

Рассмотрим бесконечный сплошной цилиндр, равномерно нагреваемый (или
охлаждаемый) с боковой поверхности. В объеме цилиндра находится источник тепла
постоянной интенсивности. Требуется найти распределение температуры для
установившегося режима.
d 2T 1 dT q
dr
u dT dr
2
r dr
q r
du
r
u V 0
dr
V
или
0
(1)
d ru qV r
0
dr
qV r 2
ru
C1
2
q r C
dT
V 1
dr
2
r
Общее решение
Первый
интеграл
(3)
qV r 2
T
C1 ln r C2
4
Условие в центре для
сплошного цилиндра
dT dr 0; r 0
(2)
(4)
C1 0

27.

Цилиндр с объемным тепловыделением
dT
T Te
r R
dr
qV 2
qV R
2
qV R qV R 2
T
R
r
Te
C2
Te
4
2
2
4
q
q R
q R
Tmax V R 2 V Te
Ts V Te
4
2
2
Внешнее условие:
плотность теплового потока на поверхности цилиндра:
полный тепловой поток с поверхности цилиндра:
q Ts Te
Q qF
(5)
(6)
(7)
qV R
2
qV R
2 Rl qV R 2l
2
Задача об охлаждении цилиндра с объемным тепловыделением представляет, в
частности, интерес для нахождения распределения температуры в катодах,
используемых в плазмотронах для генерации потоков ионов. В практическом
приложении эта задача может быть переформулирована так: найти мощность
источника, достаточную для распыления катода при условии, что для этого нужно
достичь температуру плавления материала катода
Используя общее решение (4), можно найти распределение температуры по толщине
стенки полого цилиндра или по толщине цилиндра, покрытого защитным слоем
(рассмотрим далее). В первом случае нужно задать условия на внутренней поверхности
цилиндра. Во втором случае потребуется дополнительное условие на границе раздела
двух материалов с разными свойствами, т.е. граничное условие четвертого рода.

28.

Шар с объемным тепловыделением
qV r 2 C1
Дома: покажите,
T
C2 (2)
(1)
что общее решение
6
r1
dr 2
(1) имеет вид (2)
dT
Условия:
dT dr 0; r 0 и dr T Te ; r R
q
q
дают С1 0 и
C2 Te V R V R 2
3
6
2
qV
qV 2 r (3)
T Te
R
R 1
3
6
R
q
q
Tmax Te V R V R 2 (4)
максимальная температура
3
6
q
q
Температура поверхности
Ts Te V R V R 2 (5)
3
6
R 2 dT
1
Полный поток тепла через поверхность
Q
R 3qV
4 dr r R 3
шара
qV R
qV 2 qV R
T
Te
Tmax
R
Te
цилиндр
s
2
4
2
Сравните
d 2T
2 dT qV
0
r dr
Плоский слой Tmax
qV qV 2
Te
2
8
q
T s V Te
2
с (4), (5)

29.

Пример 1. Найти максимальную силу тока, который можно пропускать по
алюминиевой проволоке (λ=204 Вт/(м·К)) диаметром 1 мм, чтобы ее
температура не превышала 200 С. Проволока подвешена в воздухе с
температурой 25 С. Коэффициент конвективной теплоотдачи от проволоки к
воздуху равен 10 Вт/(м2·К). Электрическое сопротивление Re/l на единицу
длины проволоки есть 0,037 Ом/м.
Решение. Воспользуемся формулой (66), из которой следует
qV
Re I 2
R 2l
Tm ax
qV R R
I 2 Re
Te
1
Te
2
2
2 R l
R
1 2
Подставляем заданные значения физических величин:
200 25
I
2
2 1 0 3
Отсюда находим силу тока:
1 0 3 2 1 0
0,0 3 7 1
2 204
2 10
I 12,2 A

30.

Провод с изоляцией
Строгая математическая постановка задачи:
d 2T1
dr
2
d 2T2
Первое условие есть условие симметрии;
второе говорит о том, что тепловой
контакт между проводом и изоляцией –
идеальный, а третье соответствует
конвективному теплообмену провода с
изоляцией с окружающей средой.
dr
2
1 dT2
0
r dr
r 0: dT dr 0
r R: 1
r R
(1)
R r R
(2)
(3)
dT1
dT
2 2 ; T1 T 2
dr
dr
r R: 2
Общее решение задачи:
1 dT1 qV
0
r dr
1
dT2
T2 Te
dr
qV r 2
T1
C1 l n r C 2
4 1
T2 C3 l n r C 4
(4)
(5)
Дома: покажите
справедливость

31.

Провод с изоляцией
qV r 2
T1
C1 l n r C 2
4 1
Общее решение задачи:
T2 C3 l n r C 4
Из условия (3) имеем:
C1 0
q R
C
1 V 2 3
R
2 1
Условия (4) дают:
qV R 2
C3
2 2
qV R 2
qV R 2
C2
l nR C 4
4 1
2 2
Из условия (5) следует:
qV R 2
C3 2 qV R 2
2
ln R C 4 Te
R
R 2 2
2 2
Находим:
qV R 2
q R
C 4 Te
l n R V
2 2
2
qV R 2 2 1 qV R 2 R
C 2 Te
ln
1
4 1 R 2 2
R

32.

Следовательно, распределение температуры в проводе с изоляцией
описывается формулами
qV R 2 2 1 qV R 2 R qV r 2
T1 Te
ln
1
4 1 R 2 2
R 4 1
и
qV R 2 2 qV R 2 R
T 2 Te
ln
2 2 R
2 2
r
Окончательное решение представим в виде:
T Te
i i
T Te
qV R 2
T Te
1
r
R
1
Bi K
2
1 1 2
ln 1
4
K 2
4
2
K K 1
ln
2Bi
2
Определим поток тепла с поверхности
проводника
q T2 R Te
Q R2l T2 R2 Te
K Bi 1
K Bi 1
Перейдите дома к
безразмерным переменным
0 1
Bi
1 1
K
Q
R2 2 l T* Te
1
2
R
2
K
Bi
- изоляция не отводит тепло от проводника с током
- возможно остывание проводника за счет потерь тепла в
окружающую среду
R

33.

Пример 2. Пусть по длинной алюминиевой проволоке диаметром 1 см
течет электрический ток силой тока 1000 А. Проволока покрыта слоем
резиновой изоляции толщиной 3 мм (λ2=0,15 Вт/(м·К)). Температура
наружной поверхности изоляции 30 С. Найти температуру внутренней
поверхности изоляции. Омическое сопротивление проволоки на единицу
длины 3,7·10-4 Ом/м.
Решение. Для решения этой задачи воспользуемся второй формулой для Т2
рассмотренной сопряженной задачи. С учетом того, что задана температура
2
внешней поверхности изоляции, т.е.
Re I 2
Re I 2
R
T2 r R Te
ln
qV
2
l
2
R
R l
2
2
1000
0 . 005 0 . 003
273 30 3 . 7 10 4
ln
477 . 6
2 3 . 14 0 . 15
0 . 005
Используя значение коэффициента теплопроводности алюминиевой проволоки
1 232 Вт/(м·К) и формулу для Т, можем рассчитать температуру в центре
1
провода. В рассматриваемых условиях имеем
2
Re I 2
Re I 2
R Re I
T1 r R Te
ln
T2 r R
l 2 2 R l 4 1
l 4 1
3 . 7 10 4 1000
477 . 6
477 . 7
4 3 . 14 232
2

34.

Задание на дом.
1.Ток силой I=200А пропускается через проволоку из нержавеющей стали
диаметром 2 мм и длиной 1 м. Электрическое сопротивление проволоки –
0.125 Ом, коэффициент теплопроводности 17Вт/(м·К). Температура
поверхности проволоки 150 С. Требуется рассчитать температуру на оси
проволоки.
2.Предположить в этой же задаче, что проволока покрыта слоем изоляции
(коэффициент теплопроводности изоляции 0,15 Вт/(м·К)), а коэффициент
теплоотдачи на поверхности изоляции равен 60 Вт/(м2К). Как нужно
изменить силу тока (увеличить или уменьшить), чтобы температура
поверхности проволоки осталась равной 150 С.

35.

Эффективные (эквивалентные) теплофизические свойства
Реально используемые в машиностроении и окружающие нас материалы
являются многокомпонентными и многофазными. Это относится к сталям,
сплавам, интерметаллидным композитам, спеченным материалам,
волокнистым композитам, композитам на полимерной основе, смесям,
растворам и т.д.
Если для исходных компонентов (из которых композиты синтезируют в
разных технологиях) или дано используемых материалов со свойствам все
более или менее ясно, то для вновь разрабатываемых материалов
определение свойств представляет собой серьезную проблему.
Стандартные экспериментальные методы могут не работать или становятся
дорогими или трудоемкими
Для расчета необходимо знать свойства составляющих, структуру и взаимное
влияние физических явлений друг на друга.
Без данных о физических свойствах невозможен ни один научный
или инженерный расчет
Дульнев Г.Н., Заринчак Ю.П. Теплопроводность смесей и композиционных
материалов

36.

Модели для расчета свойств:
корпускулярные (молекулярные), континуальные и комбинированные
В корпускулярных моделях изучают свойства на основе знаний о природе,
строении и характере взаимодействия частиц. Расчет физических свойств в
этом случае возможен лишь с использованием данных о других свойствах.
Классификация гетерогенных структур:
Дульнев, стр.10-52 (открыть)
Композиты: стр.106-130

37.

Известны многочисленные способы расчета эффективных коэффициентов
теплопроводности гетерогенных и пористых материалов
В простейшем приближении для процесса теплопроводности в отдельной
микрообласти (которую рассматривают как представительный объем)
справедливы физические уравнения
JT ,k k grad Tk , div JT ,k 0
Граничные условия на поверхностях раздела областей с идеальным
тепловым контактом имеют вид:
T
T
k k k 1 k 1 ; Tk Tk 1
n
n
Для определения эффективной теплопроводности материала (состоящего из
различных фаз) необходимо определить распределения физических полей во
всех микрообластях, а потом уже перейти к квазигомогенной среде, для
которой справедливы соотношения
JT * T
1
J k dV ;
V
1
Tk d
T
V
V
Установление вида этой
Эффективный коэффициент: f k , k ;
зависимости и является
основной задачей
- доли фаз
различных теории.
JT
T

38.

Двухфазная система
1
J
J1dV1 J 2dV2 1 1 T1 2 2 T2
V
V2
V1
1 V1 V , 2 V2 V
(1)
1 1 1 2 2 2 ;
k
T 1 T1
2 T2
Tk T
T
2
1 1 2 2 1
Следует из
предыдущего
, k 1,2
- средний по объему градиент
Система двух уравнений (1) содержит три неизвестных. Для е замыкания
требуется дополнительная информация, например, сведения о структуре
гетерогенной системы, данные специально поставленного эксперимента.
Решение проблемы замыкания таких систем и привело к появлению всего
разнообразия методов определения коэффициентов переноса (не только
коэффициента теплопроводности), которое известно в литературе

39.

1. В случае простейшей структуры, представляющей собой систему
неограниченных пластин, параллельных потоку J
1 2 1
и
1 1 2 2
2. Если слои - перпендикулярны потоку
1 T1 2 T2 ;
1 2 2 1
1 2
1 2
1
Типы структур неоднородных сред весьма разнообразны. Так, в случае
двухфазных сред, к которых фазы (микрообласти, содержащие разные фазы)
могут быть распределены в пространстве как хаотически, так и упорядоченно,
можно выделить структуры, содержащие одну из фаз в виде изолированных
изомерных (1) или анизотропно ориентированных (2) включений в
непрерывной другой фазе, зернистые системы с непрерывным каркасом (3) и
порами (4), волокнистые системы из волокон (5) и пор (6), статистически
неоднородные (микронеоднородные) системы из близких по размерам
компонентов (7), слоистые системы из параллельных (8) и перпендикулярных
(9) потоку слоев. Можно представит себе системы, состоящие из отдельных
подсистем с различными структурами описанного типа. Дополнительно
каждая из фаз, входящих в структуры может быть как многокомпонентной, так
и однокомпонентной. В любом случае требуется расчет свойств каждой из фаз
или их экспериментальное определение.

40.

Уравнение Кондорского
3 1 1 3 2 1 2
3 1 1 3 2 1
Оделевского (метод
1
эффективной среды)
4
16
2
2 1
1 V1 V , 2 V2 V
13
2 1
1 2
Интегральный метод
Двусторонние оценки (оценки
Хашина-Штрихмана)
Шермергор:
1 2
1
2
1
1
2 1
1
1
1 3
1 3
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
1 2 1
1 1 2
Индекс 1 относится к матрице, а «2» - к включениям
Несмотря на упрощенные модели сред, некоторые из известных формул
позволяют проводить вполне достоверные оценки, хотя число формул для
различных частных случаев сред быстро возрастает с увеличением числа фаз.

41.

Дома:
Имеется композит. Матрица - сплав на основе фольфрама (считаем его
коэффициент теплопроводности равным теплопроводности вольфрама).
Частицы (включения) карбид титана.
Используя выписанные выше формулы рассчитать зависимости
эффективных коэффициентов теплопроводности композита от доли
включений (ξ= от 0 до 0,75). Построить на одном графике.
Какой вывод можно сделать?

42.

Свойства зернистых и пористых материалов
На эффективную теплопроводность пористых материалов при прочих равных
условиях оказывает влияние теплопроводность твердой фазы. При этом для
одних пористых материалов (на основе А12О3, BeO, MgO и др.) коэффициент
теплопроводности с ростом температуры уменьшается, в то время, как для
других, изготовленных на основе SiO2, ZrO2, - увеличивается. Решающее
влияние на эффективную теплопроводность оказывает пористость, поскольку
сами поры вследствие низкой проводимости газа являются эффективным
барьером на пути распространения тепла. Однако здесь имеются иные
механизмы теплопереноса (конвекция, излучение).
Самые простые модели основаны на представлении пористого или
дисперсного материала в виде плоских чередующихся слоев, составленных и
твердого каркаса (остова) и воздуха.
1
1
2
2
1
1 1 2
- доля пор; пористость
- теплопроводность воздуха или другого вещества, заполняющего
пористое пространство

43.

Модели, представленные на рис в центре связывают с именами
Maxwell–Eucken (Максвелла-Эйкена). Результат имеет вид
1
2
2 1 2 2 1 2
2 1 2 2 1 2
2 2 1 2 2 1 1
2 2 1 2 2 1 1
1 1
2
0
1 2
2 2
непрерывным является твердый каркас
непрерывным является пористое
пространство
модель теории эффективной среды

Решение задач по определению температурного поля осуществляется на основании дифференциального уравнения теплопроводности, выводы которого показаны в специальной литературе. В данном пособии приводятся варианты дифференциальных уравнений без выводов.

При решении задач теплопроводности в движущихся жидкостях, характеризующих нестационарное трехмерное температурное поле с внутренними источниками теплоты, используется уравнение

Уравнение (4.10) является дифференциальным уравнением энергии в декартовой системе координат (уравнение Фурье  Кирхгофа). В таком виде оно применяется при изучении процесса теплопроводности в любых телах.

Если  x = y = z =0, т. е. рассматривается твердое тело, и при отсутствии внутренних источников теплоты q v =0, тогда уравнение энергии (4.10) переходит в уравнение теплопроводности для твердых тел (уравнение Фурье)

(4.11)

Величину С=a, м 2 сек в уравнении (4.10) называют коэффициентом температуропроводности, который является физическим параметром вещества, характеризующим скорость изменения температуры в теле при неустановившихся процессах.

Если коэффициент теплопроводности характеризует способность тел проводить теплоту, то коэффициент температуропроводности является мерой теплоинерционных свойств тела. Из уравнения (4.10) следует, что изменение температуры во времени t для любой точки пространства пропорционально величине «а», т. е. скорость изменения температуры в любой точке тела будет тем больше, чем больше коэффициент температу-ропроводности. Поэтому при прочих равных условиях выравнивание температур во всех точках пространства будет происходить быстрее в том теле, которое обладает большим коэффициентом температуропроводности. Коэффициент температуропроводности зависит от природы вещества. Например, жидкости и газы обладают большой тепловой инерционностью и, следовательно, малым коэффициентом температуропроводности. Металлы обладают малой тепловой инерционностью, так как они имеют большой коэффициент температуропроводности.

Для обозначения суммы вторых производных по координатам в уравнениях (4.10) и (4.11) можно использовать символ  2 , так называемый оператор Лапласа, и тогда в декартовой системе координат

Выражение  2 t в цилиндрической системе координат имеет вид

Для твердого тела в стационарных условиях с внутренним источником теплоты уравнение (4.10) преобразуется в уравнение Пуассона

(4.12)

Наконец, для стационарной теплопроводности и при отсутствии внутренних источников теплоты уравнение (4.10) принимает вид уравнения Лапласа

(4.13)

Дифференциальное уравнение теплопроводности в цилиндрических координатах с внутренним источником теплоты

(4.14)

4.2.6. Условия однозначности для процессов теплопроводности

Так как дифференциальное уравнение теплопроводности выведено на основе общих законов физики, то оно характеризует явление теплопроводности в самом общем виде. Поэтому можно сказать, что полученное дифференциальное уравнение характеризует целый класс явлений теплопроводности. Чтобы из бесчисленного количества выделить конкретно рассматриваемый процесс и дать его полное математическое описание, к дифференциальному уравнению необходимо присоединить математическое описание всех частных особенностей рассматриваемого процесса. Эти частные особенности, которые совместно с дифференциальным уравнением дают полное математическое описание конкретного процесса теплопроводности, называются условиями однозначности или краевыми, которые включают в себя:

а) геометрические условия, характеризующие форму и размеры тела, в котором протекает процесс;

б) физические условия, характеризующие физические свойства среды и тела (, С z , , а и др.);

в) временные (начальные) условия, характеризующие распределение температур в изучаемом теле в начальный момент времени;

г) граничные условия, характеризующие взаимодействие рассматриваемого тела с окружающей средой.

Начальные условия необходимы при рассмотрении нестационарных процессов и состоят в задании закона распределения температуры внутри тела в начальный момент времени. В общем случае начальное условие аналитически может быть записано следующим образом при =0:

t =  1 x, y, z. (4.15)

В случае равномерного распределения температуры в теле начальное условие упрощается: при =0; t=t 0 =idem.

Граничные условия могут быть заданы несколькими способами.

А. Граничные условия первого рода, задающие распределение температуры на поверхности тела t c для каждого момента времени:

t c =  2 x, y, z, . (4.16)

В частном случае, когда температура на поверхности является постоянной на протяжении всего времени протекания процессов теплообмена, уравнение (4.16) упрощается и принимает вид t c =idem.

Б. Граничные условия второго рода, задающие величину плотности теплового потока для каждой точки поверхности и любого момента времени. Аналитически это можно представить следующим образом:

q n = x, y, z, , (4.17)

где q n  плотность теплового потока на поверхности тела.

В простейшем случае плотность теплового потока по поверхности и во времени остается постоянной q n =idem. Такой случай теплообмена имеет место, например, при нагревании различных металлических изделий в высокотемпературных печах.

В. Граничные условия третьего рода, задающие температуру окружающей среды t ж и закон теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. Для описания процесса теплообмена между поверхностью тела и средой используется закон Ньютона.

Согласно закону Ньютона, количество теплоты, отдаваемое единицей поверхности тела в единицу времени, пропорционально разности температур тела t c и окружающей среды t ж

q = t c  t ж . (4.18)

Коэффициент теплоотдачи харктеризует интенсивность теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. Численно он равен количеству теплоты, отдаваемому (или воспринимаемому) единицей поверхности в единицу времени при разности температур между поверхностью тела и окружающей средой, равной одному градусу.

Согласно закону сохранения энергии, количество теплоты, которое отводится с единицы поверхности в единицу времени вследствие теплоотдачи (4.18), должно равняться теплоте, подводимой к единице поверхности в единицу времени вследствие теплопроводности из внутренних объемов тела (4.7), т. е.

, (4.19)

где n  нормаль к поверхности тела; индекс «С» указывает на то, что температура и градиент относятся к поверхности тела (при n=0).

Окончательно граничное условие третьего рода можно записать в виде

. (4.20)

Уравнение (4.20), по существу, является частным выражением закона сохранения энергии для поверхности тела.

Г. Граничные условия четвертого рода, харктеризующие условия теплообмена системы тел или тела с окружающей средой по закону теплопроводности. Предполагается, что между телами осуществляется идеальный контакт (температуры соприкасающихся поверхностей одинаковы). В рассматриваемых условиях имеет место равенство тепловых потоков, проходящих через поверхность соприкосновения:

. (4.21)